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Primfaktorzerlegung - Strategie bei Polynomen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom, Primfaktorzerlegung

Claudia-88 aktiv_icon

18:04 Uhr, 12.06.2011

Hallo,

ich habe auf meinem Übungsblatt drei Aufgaben zur Primfaktorenzerlegung, mit denen ich nicht wirklich zurecht komme und mir daher hier von euch Hilfe und Erklärungen erhoffe.

Aufgabe 1

41075 = 5 \cdot 5 \cdot 1643

Durch Nachschlagen im Tafelwerk (Primzahlen) und ausprobieren, habe ich dann herausgefunden, dass

1643

sich durch

31 \cdot 53

darstellen lässt. Jedoch habe ich ja nicht immer eine praktische Primzahltabelle und einen Taschenrechner bei mir. Wie kann man das ganze also optimieren? (Gibt es da einen sinnvollen Algorithmus)?

Aufgabe 2

P (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} + 2 x

(Zerlegung in

Q (x))

Wie funktioniert die Primfaktorenzerlegung mit Polynomen (allgemein)? Das habe ich nicht verstanden.
Also man muss irgendwie ein erstes Polynom

A (x)

suchen, so dass gilt P(x)=0modA(x), oder?! Wie macht man das am Besten?

Aufgabe 3
(Über den Zahlen sind je Striche - Wofür stehen die? Für die Restklassen?!?!)

P (x) = 1 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \in Z 3 (x)

Lg, Claudi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Bummerang

19:57 Uhr, 12.06.2011

Hallo,

Aufgabe 1: "Wie kann man das ganze also optimieren?"

Ich beginne die Zerlegung immer mit der kleinsten Primzahl (also

2)

und dann eine Primzahl nach der anderen. Bei Deinem Beispiel sieht man, dass die 2 kein Faktor ist, also geht es an die

3,

Quersumme aber nicht durch 3 teilbar, weiter mit der 5. Die ist zwei Mal enthalten und es bleibt

1643

übrig. Jetzt sehe ich eigentlich keie Primzahl mehr, deshalb berechne ich überschlagsweise die Wurzel, denn wenn es noch Primfaktoren gibt, die

1643

zerlegen, dann ist mindestens einer kleiner gleich der Wurzel. Da komme ich auf 40,irgendwas, denn bei

41

komme ich (binomische Formel im Hinterkopf) auf

1681

. Wenn

1643

in Primfaktoren zerlegbar ist (also selbst keine Primzahl ist), dann ist ein Faktor kleiner als

40

und somit kleiner oder gleich

37

(größte Primzahl kleiner oder gleich

40)

. Bei der 7 und der

11

gibt es noch gute Teilbarkeitsregeln, ab da muss man wohl oder übel die Primzahlen eine nach der anderen abklappern. Ihne Primzahltabelle geht das bis

37

sicher einfach, ansonsten muss man die Primzahlen ermitteln. Immerhin muss man nur die Zahlen als Primzahlen testen, die bei der Division durch 6 den Rest 1 oder

5 (= - 1)

ergeben.

Aufgabe 2:

x^{4} - x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x;

alle Summanden enthalten

x

als Faktor

= (x^{3} - x^{2} - 2 \cdot x + 2) \cdot x;

man sieht paarweise gleiche Koeffizienten

= (x^{3} - 2 \cdot x - x^{2} + 2) \cdot x

= ((x^{2} - 2) \cdot x - (x^{2} - 2)) \cdot x

= (x^{2} - 2) \cdot (x - 1) \cdot x

x^{2} - 2

läßt sich über

ℚ

nicht weiter zerlegen.

Aufgabe

3 : -

Ja was ist hier eigentlich die Aufgabe?

Claudia-88 aktiv_icon

20:23 Uhr, 12.06.2011

Hall Bummerang,

vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Du scheinst es so ähnlich zu machen wie ich... also bleibt im Endeffekt das Abklappern der Primzahlen in einer Tabelle indirekt nötig - nur dass man durch das mit der Wurzel die möglichen Zahlen durchaus "einschränkt". Schööön :-D)

Bei Aufgabe 2 macht man es also tatsächlich so wie ich es mir gedacht habe... nur auf die Umformung wäre ich so nicht gekommen. Die Primfaktorzerlegung ist dann also quasi die letzte vond ri aufgeschriebene Summe?

Bei Aufgabe 3 soll man in

Z

die Primfaktorzerlegung für das genannte Polynom mache. Ich denke die "3" steht für den Rstklassenring 3...?!?!

lg, Claudi

hagman aktiv_icon

22:01 Uhr, 14.06.2011

ℤ_{3} [x]

ist der Ring der Polynome in einer Unbestimmten

x

mit Koeffizienten im Restklassenring

ℤ_{3}

(also Restklassen modulo

3)

.
Achtung:

ℤ_{3} (x)

wäre der Körper der entsprechenden gebrochen-rationalen, und da ist das mit den Primelementen so eine Sache!

Welche Faktoren könnte

\bar{1} x^{3} + \bar{2} x^{2} + \bar{2}

denn überhaupt haben?
Wenn

P

zerlegbar ist, also

P = f \cdot g

und weder

f

noch

g

ist konstant, dann muss einer der beiden Grad 1 und der andere Grad 2 haben.
Einen möglichen Faktor

f (x) = a \cdot x + b

von Grad 1 (mit

a \neq \bar{0})

können wir aber leicht daran erkennen, dass

- b \cdot a^{- 1}

eine Nullstelle von

P

sein muss.
Hat

P

Nullstllen? Was ist

P (\bar{0})

P (\bar{1})

P (\bar{2})

Claudia-88 aktiv_icon

22:20 Uhr, 14.06.2011

Eine Nullstelle gibt es bei

P (2) = P (- 1),

denn

- 1 + 2 + 2 = 3 = 0

(sorry für die Schreibweise).

Deswegen habe ich mich jetzt in der Polynomdivision

P (x) : (x - 2)

versucht, aber da hakt es schon, weil ich teilweise nicht weiß, ob man das so rechnen kann, wie ich es mir denke. Ich erhalte auf jeden Fall einen Rest "1"...

hagman aktiv_icon

22:50 Uhr, 14.06.2011

Ist eigentlich schon korrekt, nur muss man die Polynomdivision richtig durchführen in

ℤ_{3} :

\bar{1} x^{3} + \bar{2} x^{2} + \bar{2}

= (x + \bar{1}) \cdot x^{2} + \bar{1} x^{2} + \bar{2}

= (x + \bar{1}) \cdot x^{2} + (x + \bar{1}) \cdot x + \bar{2} x + \bar{2}

= (x + \bar{1}) \cdot x^{2} + (x + \bar{1}) \cdot x + (x + \bar{1}) \cdot \bar{2}

= (x + \bar{1}) \cdot (x^{2} + x + \bar{2})

Jetzt muss man nur noch prüfen, ob

x^{2} + x + \bar{2}

vielleicht eine Nullstelle hat (man braucht nur

x = \bar{2}

zu testen)

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