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Primteiler

Schüler

Tags: Primteiler, Primzahl, Teil

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20:17 Uhr, 27.12.2016

Hallo

Die Aufgabe lautet:
Addiere alle Zahlen, die kleiner sind als

100

und genau drei verschiedene Primteiler haben.

Meine Lösungsidee:

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

2 \cdot 3 \cdot 13 = 78

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

Summe

= 286

Das sind nach meiner Ansicht alle möglichen Kombinationen von Primfaktoren, die unter

100

bleiben und 3 verschiedene Primteiler haben.

Leider sagt die Lösung zur Aufgabe, es sollte

142

sein. Leider habe ich keine Ahnung, wo mein Überlegungsfehler liegt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

pleindespoir aktiv_icon

20:26 Uhr, 27.12.2016

Exakter Aufgabentext im Original verfügbar ?

abakus

21:07 Uhr, 27.12.2016

Hallo Greenlight,
deine Lösung und die Musterlösung unterscheiden sich um 144 (was gerade 66+78 ist).
Entweder die Musterlösung ist falsch, oder eine zusätzliche (von dir nicht genannte) Bedingung der Aufgabe schließt mehrstellige Primzahlen aus.

greenlight aktiv_icon

21:26 Uhr, 27.12.2016

Vielen Dank für den Hinweis mit der Differenz. Dadurch bin ich wahrscheinlich auf die Lösung gekommen. Ich darf wohl die

11

und

13

nicht mit einbeziehen.
Es fallen also weg:

2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

2 \cdot 3 \cdot 13 = 78

Summe

144

Es bleiben

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

Summe

142

So ganz logisch ist es mir aber nicht, weil das wären dann ja 4 Primteiler

(2,3,5

und

7),

die Aufgabe aber verlangt doch drei verschiedene Primteiler. Hat dafür jemand eine logische Erklärung?

abakus

21:32 Uhr, 27.12.2016

"Ich darf wohl die 11 und 13 nicht mit einbeziehen."

Warum nicht? Steht in der Aufgabe etwas dazu?
Nicht umsonst hat pleindespoir nach dem Originaltext der Aufgabe gefragt.

PS: Keine der Zahlen 30, 42, 70 besitzt vier Primteiler.

pleindespoir aktiv_icon

22:12 Uhr, 27.12.2016

Offenbar war meine Nachfrage wohl doch umsonst.

greenlight aktiv_icon

00:45 Uhr, 28.12.2016

Erstmals beiden danke für die Bereitschaft zur Unterstützung.

Der exakte Aufgabentext im Original lautet:
"Addiere alle Zahlen, die kleiner sind als

100

und genau drei verschiedene Primteiler haben." (Also genau so, wie ich ihn zu Beginn geschildert habe. Deshalb ging ich auf diese Frage nicht ein.)

Ehrlich gesagt, denke ich, dass der herausgebende Verlag dieser Aufgaben einen Fehler bei den Lösungen gemacht hat. Es gibt ja keinen Grund, warum man

66

und

78

ausschliessen kann. Für mich ist die Aufgabe so erledigt. Besten Dank an euch.

mihisu aktiv_icon

04:36 Uhr, 28.12.2016

Also ich vermute ja mal stark, dass derjenige, der die Lösung erstellt hat, folgenden Denkfehler hatte:

Beim Prüfen, ob eine Zahl

n

eine Primzahl ist, reicht es zu untersuchen, ob

n

von einer Primzahl

p

mit

p \leq \sqrt{n}

geteilt wird.

Daher hat sich derjenige, der die Lösung geschrieben hat wohl gedacht, es reicht auch hier nur Primzahlen bis

\sqrt{100} = 10

zu betrachten.

Das reicht hier aber nicht, denn beispielsweise kann auch

11

ein Teiler einer Zahl kleiner

100

sein. Siehe:

66 = 2 \cdot 3 \cdot 11

. Nur findet man beim entsprechenden Primzahltest eben auch die kleineren Primzahlen

2, 3 \leq \sqrt{100},

so dass die

11

beim entsprechend genannten Primzahltest keine Rolle spielt, da man schon davor auf die 2 bzw. die 3 stößt.

\\\\

Ansonsten denke ich aber, dass auch

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

2 \cdot 3 \cdot 13 = 78

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

noch nicht alle Zahlen sind.

Soweit ich das sehe, hat auch beispielsweise

2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60

3 verschiedene Primteiler

(2, 3, 5)

.

Demnach komme ich auf:

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

2 \cdot 3 \cdot 13 = 78

2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

2 \cdot 3^{2} \cdot 5 = 90

2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84

2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60

Summe:

520

greenlight aktiv_icon

09:58 Uhr, 28.12.2016

Lieber Mihisu

Vielen Dank für die ausführliche Stellungnahme.

Der beschriebene Denkfehler tönt sehr plausibel. Ich kann mir auch gut vorstellen, dass es so war.

Ich bezweifle aber, dass auch

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

zu berücksichtigen wäre, da der Aufgabentext doch verlangt, dass es GENAU drei verschiedene Primteiler pro Zahl sind. Ich verstehe es so, dass es nur drei Zahlen pro Zahl haben darf. Ohne das Wort "genau" wäre dein Argument wohl gültig.

pleindespoir aktiv_icon

10:01 Uhr, 28.12.2016

Die Musterlösung ist jedenfalls

g e n a u

unkorrekt.

mihisu aktiv_icon

18:10 Uhr, 28.12.2016

Aber

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

hat doch genau 3 verschiedene Primteiler. Nämlich

2, 3

und 5. Dass die

2

in der Primfaktorzerlegung doppelt vorkommt ist dabei egal, da ja

2 = 2

ist also die zweite 2 kein neuer Primteiler ist.

2, 2, 3, 5

würde ich jetzt nicht als (paarweise) verschieden betrachten, da

2 = 2

ist.

Oder sieh es mal anders: Sagen wir eine Zahl

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

habe nicht genau 3 verschiedene Primteiler. Dann müsste

n

weniger als 3 oder mehr 3 verschiedene Primteiler haben. Weniger als drei kann bei

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

nicht sein, da man

2,3,5

findet. Also müsste es vier oder mehr verschiedene Primteiler geben. Wenn du mir also vier VERSCHIEDENE Primteiler angeben kannst, werde ich meine Meinung ändern. (Aber du musst ja keinen Wert auf meine Meinung legen.)

Andere Frage:
Wie viele Nullstellen hat

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}

?
Die meisten würden doch wohl sagen, dass es genau eine (doppelte) Nullstelle bei

x = 0

gibt, und nicht dass es zwei Nullstellen gibt. Und erst recht nicht, dass es zwei verschiedene Nullstellen gibt. Man kann zwar sagen dass es zwei Nullstellen gibt, wenn man die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit zählt. Dann sollte man aber auch schreiben, dass man "Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit zählt".

Natürlich könnte es sein dass der Aufgabensteller nicht beabsichtigt hat, dass man

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

etc. berücksichtigen soll. Aber laut Aufgabenstellung, wie sie nun einmal da steht, müsste man diese Zahlen mit berücksichtigt.

So sehe ich das jedenfalls.

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