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Problem „Diagonale“
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Geometrie, Relation.
 
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Halli hallo ich bin's mal wieder, zum 3ten mal schon. Ich bin von einer Denkaufgabe meines Studiums ein kleines bisschen überfordert, aber hier erstmal die Aufgabe: In einem Rechteck aus mal Kästchen verläuft eine Diagonale. Sie läuft durch das Innere von mehreren Kästchen und streift einige Kästchen möglicherweise genau an einer Ecke. Wie hängt die Zahl der durchkreuzten/der gestreiften Kästchen von und ab? Kann man ganz allgemein etwas darüber sagen, wie viele Kästchen von der Diagonalen gekreuzt oder berührt werden? Was ich sofort erkannt habe ist hier das die Seitenlängen ungemein wichtig sind, habe ist sowohl als auch einer Gerade Zahl ist, so ist die Anzahl der Kästchen auch Gerade. Andersherum ist und eine ungerade Zahl, ist auch die Anzahl der durchgekreuzten Kästchen ungerade. Außerdem ist gerade und ungerade oder vice versa, ist die Anzahl der Kästchen Gerade. Oft ist den Anzahl der Kästchen gleich der LE der längsten Seite. Möglicherweise spielen hier auch Primzahlen eine größere rolle, leider ich erkenne nach viel rumprobieren keine wirklich zufriedenstellende Antwort auf diese Frage. Ich hab es mit Fallunterschieden probiert, kann mir aber auch dazu nach eifrigem denken und Googeln keine Formel vorstellen die immer passt. Ich habe es auch mit einer vollständigen Induktion versucht, leider lässt sich hier für mich allerdings das Schema nicht erkennen, dem das ganzen folgt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich gehe (oBdA) mal davon aus, dass ( Breite, Höhe) in dem Rechteck gilt. Zunächst solltest du den Fall betrachten, in dem und teilerfremd sind. Dann ist die Anzahl der markierten Kästchen gerade . Dies lässt sich auch einfach begründen: Wegen folgt, dass außer den beiden Eckpunkten kein weiterer Gitterpunkt getroffen wird. Legt man das Gitter mit einem Eckpunkt in den Ursprung und dem anderen in den Punkt mit den (natürlichen) Koordinaten , so kann man die Diagonale durch die Gleichung beschreiben mit . Ist ganzzahlig bei ganzzahligem mit , so folgte bzw. mit und , d.h. der Bruch wäre kürzbar, was im Widerspruch zur Teilerfremdheit von und steht. Kein weiterer Gitterpunkt bedeutet doch aber, dass vor allem das Rechteck in voller Breite () Kästchen aufweisen muss. Hinzu kommen an den Stellen "doppelte" Kästchen, an denen die waagerechten Ganzzahllinien überquert werden müssen (das passiert an Linien). (Betrachte Beispielbild unten!) Anders sieht es aus, wenn und nicht teilerfremd sind sondern gilt. Dann kannst du das Rechteck in kleinere Rechtecke der Breite und Höhe aufteilen. Es ergeben sich dann weitere Gitterpunkte, durch die die Diagonale verläuft, die JEWEIL 2 weitere markierte Kästchen mit sich bringen, sodass du dann zu kommst. (Auch dazu Bild unten als Beispiel) Mfg Michael   |
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Und das ist echt eine Denkaufgabe aus dem STUDIUM?  |
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Da müssen sie leider meinen Professor fragen :-) |
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@michaL Müsste die Formel für den allgemeinen Fall nicht so lauten: . @abakus Warum nicht? Ist doch eine schöne übersichtliche Problemstellung, wo man sich erstmal ein paar Beispiele anschauen und dort Kästchen zählen kann, dann irgendwie erkennt, dass die Anzahl der durchlaufenen Gitterpunkte mit dem ggT zu tun hat, um schließlich auf eine Anzahlformel zu kommen, die man dann auch ordentlich beweisen kann. Und es ist gewiss keine Demütigung, dass die (wie im Scan darsgestellt wird) schon Schülern der 6.Klasse gestellt wurde - ist schließlich keine Schulaufgabe, sondern eine Knobelaufgabe für mathematisch aufgeweckte Schüler. Zudem ist die Aufgabenstellung im Scan leicht anders: Bei der werden nur die Kästchen gezählt, wo innere Punkte auf der Diagonale liegen. Das bedeutet abweichend zu oben, dass die "gestreiften" Kästchen nicht dazuaddiert werden, es ist hier demnach einfach . |
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Hallo, @HAL9000: Ja, danke. Ich habe eben eine lange Antwort mit Umrechnungen verfasst, nur um festzustellen, dass ich beim Ausmultiplizieren oben wirklich einen Fehler gemacht habe. Ich muss wirklich aufhören, die Dinge im Kopf zu machen. :( Mfg Michael |
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sorry, ich verstehe das für kastchen für breiete unf für höhe steht, aber für welchen wert steht dann ? |
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Du gehst von links oben nach rechts unten. Von links nach rechts sind es a, von oben nach unten b Kästchen. Von links nach rechts musst du also a-1 senkrechte Linien durchkreuzen und kommst dabei in ein neues Kästchen. Von oben nach unten entsprechend b-1 waagerechte Linien, wobei du b-1 Grenzen durchkreuzt. Das wären dann a+b durchkreuzte Kästchen. Aber: Wenn das Durchkreuzen auf eine Ecke geschieht, durchkreuzt du gleichzeitig 2 Grenzlinien (senkrecht und waagerecht), wobei du aber nur in ein neues Kästchen gerätst. Deshalb musst du für jeden solchen Fall 1 Kästchen wieder abziehen. Wie oft geht die Diagonale durch eine Ecke? Das ist genau ggT(a|b) oft der Fall. Daher: Es werden a+b-ggT(a|b) Kästchen durchkreuzt. Es geht somit fast ohnen den ganzen Formelkram... |
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@Bobby1995 In den Beiträgen von michaL und mir ist durchgehend . Sollte man eigentlich mitkriegen, wenn man gründlich liest, denn es steht explizit und unversteckt im Beitrag von michaL. |
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Das habe ich schon mitbekommen. Ich wollte nur zeigen, dass man keine Geradengleichungen oder sonstiges Geschütz auffahren muss, um das Problem zu lösen. Es geht um den simplen Lösungsweg, nicht um die schon mitgeteilte Lösung. |
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