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Problem! Extremwertaufgaben mit Integralrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremalaufgabe, Extremwertproblem, Grundkurs, gymnasium, Intregralrechnung, Mathe 12 Klasse

Bellax3 aktiv_icon

15:12 Uhr, 15.02.2012

Hallo ihr Lieben,
dies ist mein erster Eintrag hier, daher hoffe ich ihr könnt mir helfen.
In Mathe habe ich eine Aufgabe bekommen, in der man Extremwertaufgaben mit Integralrechnung kombinieren muss und irgendwie komme ich nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:
Für

0 < k < 2

sind die Funktionen fk und gk gegeben durch fk(x)=k(x-k)(x+k) und gk(x)=4(1/k*x²-k).
Für welches

k

ist der Flächeninhalt maximal? Berechne den maximalen Flächeninhalt.
Also zunächst muss ich jetzt die Nebenbedingung und Extremalbedingung aufstellen.
Die Nebenbedingung wäre: fk(x)-gk(x)= -k³+kx²-4/k*x²+4k
Die Extremalbedingung wäre Integral von a bis

b

der Funktion (-k³+ -k³

+

kx²

- \frac{4}{k}

*x²+4k)dx.
Dies muss ich nun aufleiten und hätte als Stammfunktion heraus:

- (\frac{1}{4}) \cdot k^{4}

+(k/3)*x³

- (\frac{3}{k}) \cdot

x³+ 2k².
Da ich aber a und

b

noch berechnen muss, muss ich fk(x) und gk(x) zunächst gleichsetzen um die Schnittstellen zu bestimmen.
Nach auflösen oder besser gesagt "umschreiben" habe ich dort stehen:

- k^{4} +

k²x²+4k²-4x²=0
aber jetzt weiß ich irgendwie nicht weiter.
Also ich ahne, dass ich hier substituieren muss, aber ich weiß nicht so richtig wie.
Ich komme einfach nicht weiter

: - (

Glg Bella

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

15:35 Uhr, 15.02.2012

...erstmal ist

f_{k} (x) = k \cdot (x - k) \cdot (x + k) = k \cdot (x^{2} - k^{2}) = k \cdot x^{2} - k^{3}

und ist für

0 < k < 2

eine nach oben offene Parabel nach unten um

k^{3}

verschoben mit Nullstellen

\pm k

Nun

g_{k} (x) = 4 \cdot (\frac{1}{k} \cdot x^{2} - k) = \frac{4}{k} \cdot x^{2} - 4 \cdot k

hier gilt selbiges, nur um

4 \cdot k

nach unten verschoben.

Nun gilt für

0 < k < 2

4 \cdot k > k^{3}

damit liegt

g_{k} (x)

unter

f_{k} (x)

und damit ist

f_{k} (x) - g_{k} (x) > 0

Als Fläche betrachten wir dann

\int_{- k}^{k} (k \cdot x^{2} - k^{3}) - (\frac{4}{k} \cdot x^{2} - 4 \cdot k) d x

;-)

Bellax3 aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.02.2012

Oh, Dankeschön! Das hat mir auf jeden Fall schon mal viel weiter geholfen.
Also habe ich jetzt dort stehen:

\int_{- k}^{k} (k \cdot x^{2}

−

k^{3}

)−(

4 k \cdot x^{2}

−

4 \cdot k) d x = \int_{- k}^{k} (- k^{3} + k \cdot x^{2} - \frac{4}{k} \cdot x + 4 \cdot k) d x = {[- \frac{1}{4} \cdot k^{4} + \frac{1}{2} \cdot k^{2} \cdot x^{2} + 2 \cdot k^{2}]}_{- k}^{k} = | (- \frac{1}{4} \cdot k^{4} + \frac{1}{2} \cdot k^{2} \cdot {(- k)}^{2} + 2 \cdot k^{2}) | + | (- \frac{1}{4} \cdot k^{4} + \frac{1}{2} \cdot k^{2} + 2 \cdot k^{2}) |

und nach einiger Umformung:

= | \frac{1}{4} \cdot k^{4} + 2 \cdot k^{2} | + | \frac{1}{4} \cdot k^{4} + 2 \cdot k^{2} | = \frac{2}{4} \cdot k^{4} + 4 \cdot k^{2}

Und jetzt?

: - (

Edddi aktiv_icon

07:33 Uhr, 16.02.2012

...ich erhalte was anderes:

\int_{- k}^{k} (k \cdot x^{2} - k^{3}) - (\frac{4}{k} \cdot x^{2} - 4 \cdot k) d x

= \int_{- k}^{k} k \cdot x^{2} - k^{3} - \frac{4}{k} \cdot x^{2} + 4 \cdot k d x

= {[\frac{k}{3} \cdot x^{3} - k^{3} \cdot x - \frac{4}{3 \cdot k} \cdot x^{3} + 4 \cdot k \cdot x]}_{k}^{k}

= [\frac{k}{3} \cdot k^{3} - k^{3} \cdot k - \frac{4}{3 \cdot k} \cdot k^{3} + 4 \cdot k \cdot k] - [- \frac{k}{3} \cdot k^{3} + k^{3} \cdot k + \frac{4}{3 \cdot k} \cdot k^{3} - 4 \cdot k \cdot k]

= \frac{2}{3} \cdot k \cdot k^{3} - 2 \cdot k^{3} \cdot k - \frac{8}{3 \cdot k} \cdot k^{3} + 8 \cdot k \cdot k

= \frac{2}{3} \cdot k^{4} - 2 \cdot k^{4} - \frac{8}{3} \cdot k^{2} + 8 \cdot k^{2}

= - \frac{4}{3} \cdot k^{4} + \frac{16}{3} \cdot k^{2}

Dies stellt die Fläche mit Parameter

k

da:

A (k) = - \frac{4}{3} \cdot k^{4} + \frac{16}{3} \cdot k^{2}

Nun über

A' (k) = - \frac{16}{3} \cdot k^{3} + \frac{32}{3} \cdot k = 0

Extremstellen und über

A'' (k_{E}) = - 16 \cdot k^{2} + \frac{32}{3}

kannst du dann bestimmen, ob Maxi- oder Minimum.

Für Maximum muss

A'' (k_{E}) < 0,

also muss

- 16 \cdot k^{2} + \frac{32}{3} < 0

16 \cdot k^{2} > \frac{32}{3}

k^{2} > \frac{2}{3}

Wegen

k > 0

muss also für Maximum

k > \sqrt{\frac{2}{3}}

...nun such den Extremwert...

;-)

Bellax3 aktiv_icon

12:38 Uhr, 18.02.2012

Also wenn ich das nachrechne, bekomme ich auch wieder was anderes raus.
Denn die grenzen liegen ja bei

- k

und

k,

in deiner Gleichung hast du jedoch nur

k

eingesetzt.
also steht bei mir nachher

. .

[\frac{k}{3} \cdot {(- k)}^{3} - k^{3} \cdot (- k) - (\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{k}) \cdot {(- k)}^{3} + 4 k \cdot (- k)] - [\frac{k}{3} \cdot {(k)}^{3} - k^{3} \cdot (k) - (\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{k}) \cdot {(k)}^{3} + 4 k \cdot (k)]

= [- \frac{k^{4}}{3} + k^{4} + 4 \cdot \frac{k^{2}}{3} - 4 \cdot k^{2}] - [\frac{k^{4}}{3} - k^{4} - 4 \cdot \frac{k^{2}}{3} + 4 \cdot k^{2}]

= - 2 \frac{k^{4}}{3} + 2 k^{4} + 8 \frac{k^{2}}{3} - 8 k^{2}

= 0 \cdot \frac{k^{4}}{3} + 0 \cdot \frac{k^{2}}{3}

= 0

Edddi aktiv_icon

07:44 Uhr, 20.02.2012

...ich habe nur vereinfacht, also statt

{(- k)}^{3}

hab ich

- k^{3}

verwendet.

;-)

Bellax3 aktiv_icon

14:01 Uhr, 21.02.2012

Kann ich das dann vielleicht so schreiben?

[- \frac{k^{4}}{3} + k^{4} + 4 \frac{k^{2}}{3} - 4 k^{2}] - [\frac{k^{4}}{3} - k^{4} - 4 \frac{k^{2}}{3} + 4 k^{2}]

= | - 2 \frac{k^{4}}{3} + 2 k^{4} + 8 \frac{k^{2}}{3} - 8 k^{2} |

= \frac{4}{3} \cdot k^{4} + 16 k^{2}

Also, könnte ich theoretisch vielleicht einfach Betragsstriche setzen und dann alles addieren?

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