Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » abschnittsweise definierte Funktionen

abschnittsweise definierte Funktionen

Schüler Sonstige, 11. Klassenstufe

Tags: Betragsfunktion, Funktionsschar

blutspender aktiv_icon

20:48 Uhr, 16.12.2011

Hallo an alle!

Ich habe momentan starke Probleme beim Lösen von ein paar Aufgaben und wäre euch dankbar, wenn ihr mal drüber gucken würdet.

1. gegeben sind die abschnittsweise definierten funktionen f und g durch:

f(x) = 1/2x + 3 für x < 0 und 1/2 x - 3 für x > 0

sowie

g(x) = 2 - x für x < 0 und 2 für 0 < x < 3 und 2x-4 für x > 3

a) zeichnen sie die graphen der funktionen f und g getrennt in 2 koordinatensysteme. (hab ich soweit getan... ich habe für je eine der funktionen ein koordinatensystem gemacht und sie gezeichnet.)

b) bestimmen sie die nullstellen der funktionen f und g - falls vorhanden.
(nochmals gerechnet: für 1/2x + 3 habe ich als nullstelle -6, für 1/2x - 3 als nullstelle 6, für 2-x als nullstelle 2, für 2 gar keine nullstelle und für 2x-4 als nullstelle die 2)

c) geben sie jeweils die wertebereiche der funktionen f und g an. (blackout)

2. gegeben ist die betragsfunktion f: x -> I x-2 I + 1
a) machen sie sich eine wertetabelle für x-werte zwischen - 2 und + 4 und zeichnen sie den graphen. (hab ich getan, bin mir jedoch sehr unsicher mit der wertetabelle x - 2 -1 0 1 2 3 4
y 5 4 3 0 1 2 3)

b)schreiben sie die funktion f ohne betragsstriche.
meine rechnung: I x-2 I + 1 für x > 0
(x-2) + 1 = x - 2
I x-2 I + 1 für x < 0
(-x + 2) + 1 = -x + 2

3. durch die funktionsgleichungen
a) ft(x)= t x + 4 und
b) gt(x) = 1/2 x + t
sind zwei funktionsscharen linearer funktionen gegeben. welche funktion aus funktionsschar ft und welche aus der schar gt geht jeweils durch punkt P (2I1)?
(da hab ich leider keine ahnung!)

VIELEN DANK IM VORAUS!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

01:14 Uhr, 17.12.2011

Könnte gegen den Blackout helfen:

http//de.wikipedia.org/wiki/Wertebereich

blutspender aktiv_icon

01:28 Uhr, 17.12.2011

ok, das schau ich mir gern an. wie sieht es mit dem rest der aufgaben aus? sind die, die ich gerechnet habe, richtig!?

danke

Sams83 aktiv_icon

12:17 Uhr, 17.12.2011

Hallo,

zur

1 b)

Hierbei musst Du aufpassen, dass die jeweiligen Teilfunktionen ja immer nur für bestimmte

x

definiert sind.
Die Nullstellen für

f

sind korrekt.

g

hat gar keine Nullstellen, da die erste Teilfunktion nur für

x < 0

definiert ist.

x = 2

fällt also nicht hinein. Genauso für die letzte Teilfunktion, diese ist nur für

x > 3

definiert.
Müsstest Du aber auch an der Zeichnung schon sehen, dass keine Nullstellen vorliegen.

2 a)

f (x) = | x - 2 | + 1

Wertetabelle:

x - 2 - 1 0 1 2 3 4

y 5 4 3 2 1 2 3

b)

Hier musst Du den Betrag so auflösen, dass Du schaust, wann der gesamte Betrag größer 0 ist, und wann kleiner 0 (dann wird das Vorzeichen umgedreht). Die Fallunterscheidung ist also nicht

x > 0

und

x < 0

sondern

x - 2 > 0

und

x - 2 < 0

Bei der

3)

musst Du den Punkt nehmen und jeweils in die Funktion einsetzen und das passende

t

dazu bestimmen.

KLappt's?

blutspender aktiv_icon

15:45 Uhr, 17.12.2011

Danke für die Hilfe soweit!
zu 1b)die nullstellen, die ich ausgerechnet habe, sind also korrekt? sie gelten jedoch nur für f - nicht für g aufgrund derer definitionen.

zu 1c) dieser wertebereich lässt mir auch keine ruhe. ich kriege den einfach nicht hin, obwohl er so einfach scheint. kann mir den jemand ausrechnen und erklären?

zu 2a) habe es nun richtig gezeichnet, danke für die bearbeitete wertetabelle.

zu 2b) da weiß ich leider nicht, was ich wie falsch gemacht habe und wäre dir dankbar, wenn du mir das vielleicht ausrechnen könntest und erklären könntest, weil ich da wirklich - trotz anstrengung - nicht weiter weiß.

zu 3) ok, mit mühe und not hab ichs versucht:
a) ft(x) = tx + 4
= t * 2 + 4 = 1
= t * 6 = 1 I -6
= t = -5

b)gt(x) = 1/2x + t
= 1/2 * 2 + t = 1
= 1 + t = 1 I -1
= t = 0

Danke nochmal allen für die schnelle Unterstützung & Hilfe!

Sams83 aktiv_icon

17:28 Uhr, 17.12.2011

Hallo,

1 b)

Ja, die Nullstellen sind korrekt: Nullstellen von

f (x) : - 6

und

6; g (x)

hat keine Nullstellen.

1 c)

Hier musst Du überlegen, welche Werte herauskommen können. Schau Dir die Zeichnungen Deiner Funktionen an, dann müsstest Du eigentlich sehen, welche y-Werte herauskommen.

2 b)

HIer habe ich Dir ja schon geschrieben, dass die Fallunterscheidung anders gemacht werden muss.
Für

x - 2 \geq 0

f (x) = (x - 2) + 1 = x - 1

Für

x - 2 < 0

f (x) = (- x + 2) + 1 = - x + 3

Also:

f (x) = x - 1

für

x \geq 2

und

f (x) = - x + 3

für

x < 2

3 a)

Fehler in der Umformung:

f_{t} (x) =

tx+4

t \cdot 2 + 4 = 1

2 t = - 3

t = - \frac{3}{2}

3 b)

ist korrekt

blutspender aktiv_icon

17:46 Uhr, 17.12.2011

Vielen Dank soweit! Bin noch am Arbeiten mit anderen Aufgaben... die kommen noch hehe :-) aber super soweit, danke, dass du dir die Zeit genommen hast :-) diesen blöden wertebereich guck ich mir jetzt nochmal an!!

blutspender aktiv_icon

18:13 Uhr, 17.12.2011

Der Wertebereich und der ewige Kampf... egal wie ich es drehe und wende, es will mir nicht in den Schädel!! Bitte um Hilfe und Erklärung, wenn möglich.

Nächste Aufgabe:
Gegeben ist ein Graph der folgenden abschnittsweise definierten Funktion f:

a) Funktionsgleichung angeben

b) In welchem Intervall ist f monoton steigend, in welchem streng monoton fallend?

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Sams83 aktiv_icon

18:30 Uhr, 17.12.2011

noch zum Wertebereich, also

1 c)

Schau Dir die Funktionen an.
Du siehst, dass die Funktion

f (x)

alle Werte von

y

annimmt. Also Wertebereich von

f (x)

ist

ℝ

.
Bei der Funktion

g (x)

sieht es anders aus, y-Werte unterhalb von 2 werden nicht erreicht. Der Wertebereich von

g (x)

ist also

{x | x \geq 2}

.

Ok?

blutspender aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.12.2011

aaaaaaaaaah ok. vielen dank! stand auf dem schlauch... weißt du, wie ich die andere aufgabe lösen soll!?

Sams83 aktiv_icon

19:38 Uhr, 17.12.2011

Wie würdest Du denn die Funktion unterteilen? Ich sehe 3 verschiedene Bereiche....

blutspender aktiv_icon

19:47 Uhr, 17.12.2011

also ich dachte mir, man könnte vielleicht die formel y=mx+b nehmen?
ich habe ja die punkte (-1 und 0) sowie die punkte (0 und 1)

also dann vielleicht m = 1 - 0/0-(-1) = 1

dann hätte ich ja schon
y= 1x + b

das wäre meine idee

Sams83 aktiv_icon

19:53 Uhr, 17.12.2011

Du sprichst vom linken Abschnitt. Zuerst würde ich einmal die drei Bereiche festlegen. Der erste Abschnitt gilt für

x \leq 1,

der zweite Abschnitt von

1 < x < 3,

und der dritte für

x \geq 3

.

Nun hast Du die Steigung für den ersten Abschnitt richtig bestimmt. Wie lautet b?

blutspender aktiv_icon

20:02 Uhr, 17.12.2011

also ich glaube, dass b für den abschnitt 1 ist...

nach der formel y = 1x + b müsste es ja gehen, nur was wäre y?

Sams83 aktiv_icon

20:38 Uhr, 17.12.2011

Richtig,

b = 1

. Ist ja der y-Achsenabschnitt und Du bekommst es raus, wenn Du einen der beiden Punkte in die Gleichung einsetzt.

Also:

y = f (x) = x + 1

für

x < 1

Wie lauten die anderen beiden Teilabschnitte?

blutspender aktiv_icon

21:00 Uhr, 17.12.2011

hm, ich weiß es nicht! also wenn b 1 wäre, würde es ja x + 1 heißen...
y = x + 1... aber wie es mit den anderen aussieht... weiß ich nicht

Sams83 aktiv_icon

21:25 Uhr, 17.12.2011

Ja genau, für den ersten Abschnitt ist

f (x) = x + 1

Die anderen beiden Abschnitte kannst Du genauso ausrechnen. Einfach jeweils zwei Punkte heraussuchen und

m

und

b \in f (x) =

+ b

bestimmen.

blutspender aktiv_icon

21:32 Uhr, 17.12.2011

hm, die anderen beiden abschnitte... vllt dann einfach f(x)= x + 1 = 2 + 1 für den zweiten abschnitt? oder wie meinst du das?

Sams83 aktiv_icon

21:42 Uhr, 17.12.2011

Der zweite Abschnitt geht doch von

x = 1

bis

x = 3,

oder?

Zwei Punkte wären

(1 | 2)

und

(3 | 2),

oder?

blutspender aktiv_icon

21:53 Uhr, 17.12.2011

ok, dann müsste der zweite abschnitt so gehen:
y2-y1/x2-x1 = 2-2/3-1 = 0/2 = 0
y = 0*x + b
2 = 0x + b -> b =2
f(x) = 2 ?

dritter abschnitt:
punkte P1(3 und 2) und P2(5 und 1)

y2-y1/x2-x1 = 1-2/5-3 = -1/2
y = -1/2x + b
2 = -1/2x + b -> b = 5/2
f(x)= -1/2x + 5/2

so denke ich es mir...

blutspender aktiv_icon

22:03 Uhr, 17.12.2011

Aaaaah... nochmal gerechnet:

zweiter Abschnitt:
P1 (1 und 2), P2 (3 und 2)
m = 2-2/3-1 = 0/2 = 0
2 = 0 * 3 + b -> b = 2
y = 0x + 2

dritter Abschnitt:
P1 (3 und 2), P2 (5 und 1)
m = 1-2/5-3 = -1/2
2 = -1/2 * 3 + b
2 = -1,5 + b -> b=3,5
y = -1/2x + 3,5

Sams83 aktiv_icon

22:04 Uhr, 17.12.2011

Ja, Abschnitt 2 ist richtig.

f (x) = 2

Bei Abschnitt 3 hast Du

m

richtig berechnet. Beim Einsetzen des Punkts

(3 | 2)

hast Du vergessen, die 3 bei

x

einzusetzen....

blutspender aktiv_icon

22:08 Uhr, 17.12.2011

sicher? ich hab doch die 3 bei x eingesetzt und die 2 als y genommen...

Sams83 aktiv_icon

22:17 Uhr, 17.12.2011

Ah doch, jetzt ist alles richtig. Du hattest doch in der ersten Version noch

\frac{5}{2}

als y-Achsenabschnitt berechnet. So stimmt's nun aber, alles korrekt!

blutspender aktiv_icon

22:23 Uhr, 17.12.2011

juhuuuuuuuuuuuu! danke für deine hilfe, war echt super... noch das letzte stück: in welchem intervall ist f monoton steigend und in welchem streng monoton fallend?

ich würde sagen, monoton steigend: [-1 bis 1]
und streng monoton fallend: [3 bis 5]

Sams83 aktiv_icon

22:24 Uhr, 17.12.2011

ja, korrekt

blutspender aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.12.2011

ok, vielen vielen dank für deine hilfe und das du dir die zeit genommen hast. ich habe nur noch zwei aufgaben, die ich jetzt weiter bearbeiten werde und hoffen wir mal, dass sie gut klappen :-)

blutspender aktiv_icon

22:33 Uhr, 17.12.2011

ich habe hier noch eine weitere aufgabe, die mir kopfzerbrechen bereitet:

Aufgabenstellung:

Gegeben sind die folgenden Funktionen:
f:x -> x^2 * (x-4) * (x-2) * (x + 3) und
g:x -> x^3 - 3x^2 - x + 3

a) Bestimme die Nullstellen von f, die Art der Nullstellen (ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel = VZW), das Verhalten der Funktionen für x -> ∞ und x -> - ∞ und skizzieren sie den globalen Verlauf der Funktion.

b) Genau das gleiche für g.

für f:
x^2 * (x-4) * (x-2) * (x + 3)
hat Nullstellen bei x = 0 ohne VZW, bei x= +4, x= +2 und x= -3 mit VZW, höchste Potenz ist x^2 - es gilt:
x -> -∞ geht f(x)-> +∞ und für x-> +∞ geht f(x)-> +∞

bei g weiß ich es nicht.

diese aufgabe verstehe ich überhaupt nicht und ich weiß nicht, wie ich konkret das ganze ausrechnen soll.

wenn du weißt wie und zeit und immernoch lust hast - freue mich über jede hilfe!! :-)

Sams83 aktiv_icon

22:40 Uhr, 17.12.2011

Also:

f (x) :

Nullstellen sind richtig berechnet. Um das Verhalten für

x

gegen

\pm \infty

zu betrachten, musst Du die höchste POtenz von

x

betrachten, richtig. Diese Regel gilt aber für Summanden, nicht für Faktoren. Wenn Du ausmultiplizieren würdest, hätte der höchste Summand die Potenz

5,

also geht die FUnktion nach

- \infty

für

x \to - \infty

und

+ \infty

für

x \to + \infty

Bei der

g

musst Du eine Nullstelle erraten, und dann Polynomdivision anwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.

blutspender aktiv_icon

22:47 Uhr, 17.12.2011

also bei f: da ja x^2 gegeben ist nehme ich noch die weiteren drei x und damit wäre x^5 die höchste potenz. ist diese aufgabe damit erledigt? da bin ich mir nämlich nicht sicher...

zu g: erraten... hmmm... ich setze also einfach eine zahl für x ein?

blutspender aktiv_icon

22:52 Uhr, 17.12.2011

also ich würde die 3 für g nehmen, weil...

g: x^3 - 3x^2 - x + 3, ich setze die 3 für x ein
-> 3^3 - 3*(3)^2 - 3 + 3 = 0
-> 27 - 27 - 3 + 3 = 0

Sams83 aktiv_icon

23:13 Uhr, 17.12.2011

Ja, ich denke die AUfgabe ist damit erledigt.

Genau, also weißt Du nun, dass eine Nullstelle

x = 3

ist. Nun musst Du Polynomdivision durchführen, also

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) : (x - 3) = . .

blutspender aktiv_icon

23:24 Uhr, 17.12.2011

ok, polynomdivision:

(x^3 - 3x^2 - x + 3) : (x-3) = x^2 - 1
x^3 - 3x^2
- x + 3
- x + 3
0

und was nun?

Sams83 aktiv_icon

23:46 Uhr, 17.12.2011

Nun weißt Du, dass:

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = (x - 3) \cdot (x^{2} - 1)

Den zweiten Term nun auch noch faktorisieren, dann kannst Du die Nullstellen direkt ablesen.

blutspender aktiv_icon

23:53 Uhr, 17.12.2011

wie meinst du das genau? ist der zweite term x^2 - 1?

Sams83 aktiv_icon

23:56 Uhr, 17.12.2011

Ja. Wie kannst Du das denn noch schreiben? Tipp: 3. binomische Formel...

blutspender aktiv_icon

23:58 Uhr, 17.12.2011

meinst du etwa so? (x^2 - 1) = (x-1) * (x+1)?

Sams83 aktiv_icon

00:09 Uhr, 18.12.2011

genau.
Die Funktionheißt also:

g (x) = (x - 3) (x - 1) (x + 1)

Nun kannst Du die Nullstellen direkt ablesen...

blutspender aktiv_icon

00:13 Uhr, 18.12.2011

nullstellen sind x = +3, x = +1 und x= -1 mit VZW... oder?

Sams83 aktiv_icon

00:14 Uhr, 18.12.2011

Ja, genau.

blutspender aktiv_icon

00:20 Uhr, 18.12.2011

super! ich würde außerdem sagen...

für x -> −∞ geht f(x) -> +∞ und x -> +∞ geht f(x) -> -∞

Sams83 aktiv_icon

00:22 Uhr, 18.12.2011

Nein.

x^{3}

ist hier der entscheidende Summand. Wenn Du da

- \infty

einsetzt, kommt auch

- \infty

bei raus, und für

x \to + \infty

geht es gegen

+ \infty

.

Klar, oder?

blutspender aktiv_icon

00:29 Uhr, 18.12.2011

zu viel mathe heute! wie müsste es denn genau aussehen? ich weiß was du meinst, kriege es aber gerade nicht zustande... also erst + dann...?

Sams83 aktiv_icon

00:33 Uhr, 18.12.2011

Naja,

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3

Also ist

x^{3}

der Summand mit dem höchsten Exponenten und bestimmt also das Verhalten

f + r \pm \infty

.

Setzt man unendlich große Zahlen für

x

ein, wird

x^{3}

auch unendlich groß (also

g (x) \to + \infty

für

x \to + \infty),

setzt man unendlich negative Zahlen für

x

ein, wird

x^{3}

auch unendlich negativ (also

g (x) \to - \infty

für

x \to - \infty)

Was ist daran nicht klar?

blutspender aktiv_icon

00:40 Uhr, 18.12.2011

ach so, jetzt weiß ich wie du das meinst!!! x^3 ist ja der größte summand, daher wird jedes positive x^3 auch unendlich positiv groß und umgekehrt.

danke für die ganze hilfe! war wirklich sehr lehrreich und gut erklärt.

eine letzte aufgabe gibt es, aber an die setze ich mich erst morgen.

dir einen schönen sonntag!!

Sams83 aktiv_icon

00:41 Uhr, 18.12.2011

Ja, bitte, kein Problem. Ich geh nun auch ins Bett...ebenso einen schönen Sonntag!

blutspender aktiv_icon

16:20 Uhr, 18.12.2011

so, die letzte aufgabe...

gegeben ist die ganzrationale funktion f: x -> 1/4 * (x^4 - x^2)

a) welchen globalen verlauf zeigt die funktion für x -> ∞ und x -> - ∞ ?
b) liegt symmetrie vor und wenn ja, welche?
c) bestimmen sie die nullstellen und die art der nullstellen (mit oder ohne VZW) der funktion f.
d) eine gerade g mit der steigung m = (-1/2) schneidet das polynom f im punkt P (2 und 3). bestimmen sie die geradengleichung der geraden g.
f) machen sie sich eine wertetabelle für x-werte zwischen -2 und +2 und zeichnen sie den graphen.

zu a)
ich würde die funktion erstmal umformen zu: 1/4x^4 - 1/4x^2, somit wäre ja 1/4x^4 die höchste potenz, daher würde x -> +∞ zu f(x)-> +∞ und x -> -∞ zu f(x)-> +∞

b) die funktion ist ein polynom mit geraden potenzen von x^4 und x^2, also gerade und achsensymmetrisch zur y-achse.

c, d und f - noch unsicher

danke für jegliche hilfe!

blutspender aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.12.2011

hat sich erledigt - danke für die hilfe!! :-) schönes weihnachtsfest!

954027

953072

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?