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Produkt Induktionsbeweis

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Kripke

23:55 Uhr, 01.11.2024

Hallo, ich soll das angehängte Produkt per Induktion beweisen.

Ich habe bereits einen Ansatz für den Induktionsschluss, jedoch komme ich da nach langem Überlegen mit Umformen nicht weiter. Daher nehme ich an, meine anfänglichen Umformungen sind falsch. Allerdings habe ich keinen anderen Ansatz, um das Produkt so umzuformen, dass ich die Hypothese verwenden kann.

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

01:50 Uhr, 02.11.2024

Muss es VI sein, mit Teleskopprodukt erscheint es mir einfacher.

\prod_{k = 1}^{n} 1 + \frac{1}{k + n} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{k + n + 1}{k + n} =

= \frac{2 + n}{1 + n} \cdot \frac{3 + n}{2 + n} \cdot \frac{4 + n}{3 + n} \cdot ... \cdot \frac{2 \cdot n}{2 \cdot n - 1} \cdot \frac{2 \cdot n + 1}{2 \cdot n} =

= \frac{2 \cdot n + 1}{1 + n} = 2 - \frac{1}{n + 1}

Übrigens ...erkennst du deinen logischen Fehler ? ( Grafik

2)

Und

. .

. falls es doch VI sein muss:
In

\prod_{k = 1}^{n + 1} 1 + \frac{1}{k + n + 1}

steckt

\prod_{k = 1}^{n} 1 + \frac{1}{k + n}

bis auf den fehlenden ersten Faktor

(1 + \frac{1}{1 + n})

\Rightarrow

. .

= \frac{2 - \frac{1}{n + 1}}{1 + \frac{1}{n + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2 \cdot n + 1}) \cdot (1 + \frac{1}{2 \cdot n + 2}) = \frac{2 \cdot n + 1}{n + 2} \cdot \frac{2 \cdot (n + 1)}{2 \cdot n + 1} \cdot \frac{2 \cdot n + 3}{2 \cdot (n + 1)} = \frac{2 \cdot n + 3}{n + 2} = 2 - \frac{1}{n + 2}

. .

. und das ist die Aussage für

n + 1

Mathe45

08:19 Uhr, 02.11.2024

\to

"Kann mir jemand helfen?"
Das ist schon vor Stunden geschehen. Du hast eine Antwort erhalten und sie auch gelesen.
Nun ist noch deine Reaktion darauf ausständig.
Oder besteht kein Interesse mehr ?
( so wie hier : www.onlinemathe.de/forum/verkettete-trigonometrische-Funktionen-aufloesen )

HAL9000

16:33 Uhr, 02.11.2024

> Allerdings habe ich keinen anderen Ansatz, um das Produkt so umzuformen, dass ich die Hypothese verwenden kann.

Vielleicht erkennt man das Hervorgehen des Produkts für

n + 1

aus dem für

n

besser, wenn man vorher das Produkt generell so umschreibt, dass der Faktor nur vom Index, aber nicht von

n

abhängt. Das gelingt durch Indexverschiebung

j = k + n

\prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{k + n}) = \prod_{j = n + 1}^{2 n} (1 + \frac{1}{j})

.

Beim Übergang von

\prod_{j = n + 1}^{2 n} (1 + \frac{1}{j})

\prod_{j = (n + 1) + 1}^{2 (n + 1)} (1 + \frac{1}{j}) = \prod_{j = n + 2}^{2 n + 2} (1 + \frac{1}{j})

kommen also zwei neue Faktoren für

j = 2 n + 1

sowie

j = 2 n + 2

hinzu, während der eine für

j = n + 1

wegfällt. Das ist genau das, was Respon in ihrer Induktionsschritt-Rechnung oben genutzt hat.

Kripke

23:47 Uhr, 02.11.2024

Vielen Dank für eure Hilfe, das hat sehr geholfen! Jetzt habe ich es verstanden und konnte auch selbst nochmal darauf kommen :-)

@Mathe45 ich finde es etwas anmaßend, jemandem um

8 : 00

vorzuwerfen eine Antwort von 1:… selbigeb Tages gelesen zu haben. Am verlängerten we wohlgemerkt… oder gibt es hier im Forum etwa eine (zeitlich getaktete) Antwortepflicht, von der ich nichts wusste?

Respon

00:00 Uhr, 03.11.2024

Noch eine Frage zur Aufgabenstellung: War VI zwingend vorgeschrieben oder nicht? I,d,R, sucht man sich ja meist den einfacheren Lösungsweg aus ( hier Teleskopprodukt ).

Kripke

21:08 Uhr, 03.11.2024

Ja, war tatsächlich so vorgegeben - vermutlich um den Lösungsweg einmal gesehen zu haben :-)

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