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Produkt aller Gruppenelemente

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12:52 Uhr, 17.07.2024

Es soll gezeigt werden:

Sei

G

eine endliche abelsche Gruppe, die mehr als ein Element der Ordnung

2

enthält. Dann ist

\prod_{a \in G} a = e

.
Ich verstehe, dass wenn

u_{1}, \dots, u_{r}

die Elemente der Ordnung

2

sind, gilt:

\prod_{a \in G} a = u_{1} \cdot \dots \cdot u_{r}

.

Damit hat das Produkt entweder die Ordnung

1

oder die Ordnung

2

, und man muss o.B.d.A. nur ausschließen, dass

u_{1} \cdot \dots \cdot u_{r} = u_{1}

ist.

Danke schon im Voraus!

HAL9000

15:43 Uhr, 17.07.2024

Mir fällt nur ein etwas kompliziert klingender Beweis ein - vermutlich geht es einfacher:

u_{1}, \dots, u_{r}

bilden zusammen mit

e

eine Untergruppe

U

von

G

, deren Ordnung

r + 1

offenbar gerade ist. Mehr noch, nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen kann

r + 1

nur eine Zweierpotenz sein, d.h.

r + 1 = 2^{s}

, und es ist

U

isomorph zu

V_{1} \times \dots \times V_{s}

mit jeweils

∣ V_{k} ∣ = 2

, d.h. es gibt

s

paarweise verschiedene Elemente

v_{1}, \dots, v_{s}

aus

U

mit den zyklischen Untergruppen

V_{k} = {e, v_{k}}

, und alle Elemente

e, u_{1}, \dots, u_{r}

von

U

bekommt man via

v_{1}^{w_{1}} \cdot \dots v_{s}^{w_{s}}

mit

w_{k} \in {0, 1}

.

Das Produkt aller dieser

r + 1 = 2^{s}

Elemente ist gleich

{(v_{1} \cdot \dots \cdot v_{s})}^{2^{s - 1}}

, was im Fall

s > 1

dann gleich

e

sein muss.

(Bin kein geübter Algebraiker, daher klingt das alles vermutlich etwas holprig bzw. überumständlich. Aber da so lange keiner geantwortet hat...)

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