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Produkt aus Transpositionen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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13:04 Uhr, 23.10.2011

Hallo Leute,

ich soll das Produkt aus Transprositionen bilden und zwar für:

(13254) \leq S_{5}

Das ganze heißt ja Abbildungstechnisch:

1 \to 3

2 \to 5

3 \to 2

4 \to 1

5 \to 4

Wäre das folgende Produkt aus Transpositionen korrekt?

(13254) = (13) (32) (25) (54)

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:02 Uhr, 23.10.2011

Hallo,

deine Zerlegung ist falsch, der Gedankengang ist zu einfach.
Mal (scheinbar) was anderes: Weißt du wie man zwei Permutationen verknüpft?
Weißt du, was

(1 3) \cdot (1 3 2 5 4)

ergibt?

Mfg Michael

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19:26 Uhr, 23.10.2011

Das müsste folgendes ergeben:

Man fängt mit der rechten Permutation an:

(13) (13254) = (1) (3254)

1 \to 3 \to 1

3 \to 2 \to 2

2 \to 5 \to 5

5 \to 4 \to 4

4 \to 1 \to 3

Ist doch so richtig oder?

michaL aktiv_icon

19:41 Uhr, 23.10.2011

Hallo,

nein, jedenfalls nicht der wesentliche Teil.

Bei

(1 3) \cdot (1 3 2 5 4)

geht man von links nach rechts vor. Wenn das Verknüpfungszeichen "

\circ

" ist, geht man von rechts nach links vor.
Durch

σ := (1 3)

wird wie folgt abgebildet:

1->3
3->1

Durch

τ := (1 3 2 5 4)

wird wie folgt abgebildet:
1->3
3->2
2->5
5->4
4->1

Verknüpft man beide, bedenkt, dass man von links nach rechts vorgehen muss und jede Permutation nur EINMAL rechnen darf, erhält man folgende Abbildung:

1 \overset{σ}{\overset{}{\to}} 3 \overset{τ}{\overset{}{\to}} 2

2 \overset{τ}{\overset{}{\to}} 5

3 \overset{σ}{\overset{}{\to}} 1 \overset{τ}{\overset{}{\to}} 3

4 \overset{σ}{\overset{}{\to}} 1

5 \overset{5}{\overset{}{\to}} 4

D.h. in Zykelschreibweise ist

(1 3) \cdot (1 3 2 5 4) = (1 2 5 4)

.

Versuch doch mal spaßeshalber

τ \cdot σ

zu berechnen! Da könne wir auch sinnvoll weitermachen!

Mfg Michael

Goone aktiv_icon

20:58 Uhr, 23.10.2011

Ok, hab ich, das würde so aussehen:

1 \to 3 \to 1

2 \to 5 \to 5

3 \to 2 \to 2

4 \to 1 \to 3

5 \to 4 \to 4

12345

15234

= (2543) (1)

(13254) (13) = (2543)

Richtig?

michaL aktiv_icon

21:14 Uhr, 23.10.2011

Hallo,

richtig.

Es gilt

τ \cdot σ = (1) \cdot (2 5 4 3) = (2 5 4 3)

.
Was wurde gemacht? Das kleinste Element, das NICHT auf sich abgebildet wird, und sein Bild (hier also 1 und sein Bild 3) werden als Transposition von rechts heranmultipliziert. Das Ergbnis ist eine Permutation, bei der das vormals kleinste Element, dass NICHT auf sich abgeildet wird, nun fix ist (d.h. auf sich abgebildet wird).
Mit diesem Verfahren kann man fortfahren, allerdings nun für die Ergebnispermutation

(2 5 4 3)

.

Mach immer so weiter, bis alle Elemente fix sind (also die Identität ergeben). Nachher hast du also so eine Kette:

(1 3 2 5 4) \cdot (1 3) = (1) \cdot (2 5 4 3) = (2 5 4 3)

(2 5 4 3) \cdot (? ?) = \dots

...

Durch Rückwärtseinsetzen erhältst du eine Gleichung, aus der du ein Produkt aus Transpositionen gewinnst. Alles klar?

Mfg Michael

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21:32 Uhr, 23.10.2011

Das heißt, dass ich als nächstes folgende Verknüpfung bilden müsste:

(2543) (25)

2 ist das kleinste Element, was nicht auf sich abgebildet wird und sein Bild ist die 5.

Dann hätte ich als nächstes eine Permutation der Form

(x, y, z)

heraus, bei der ich das ganze Spiel nochmal mache und damit habe ich dann 3 Transpositionen, die

(13254)

ergeben.

Ist das korrekt?

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 23.10.2011

Hallo,

ja, korrekt. Nachher hast du eine Gleichung mit einem Produkt von Transpositionen mit der Ausgangspermutation links, rechts die Identität. Das kannst du umformen und erhältst so eine Gleichung. Links die Ausgangspermutation, links ein Produkt von Transpositionen.

Mfg Michael

PS: Wurde das in der Übung nicht mal vorgerechnet?

Goone aktiv_icon

21:54 Uhr, 23.10.2011

Alles klar, danke für die Hilfe.

Nein, die Übungen gehen erst diese Woche los, ich hoffe, dass dann einiges klarer wird.

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