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Produkt komplexer Zahlen = 0

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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, produkt

Luisamueller aktiv_icon

14:17 Uhr, 22.07.2022

Gibt es eine Möglichkeit rechnerisch zu zeigen, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen nur dann

= 0

ist, wenn eine der Zahlen gleich 0 ist?
Wenn ich zwei solche Zahlen multipliziere, also (a+bi)(c+di)=(ac-bd)(ad+bc)i

(a, b, c, d \in R),

und dann

z . B

. (c+di)=(0+0i) setze, dann ist das ja offensichtlich.
Aber wie kann ich rechnerisch zeigen, dass es keine andere Möglichkeit gibt? Wenn ich jeweils (ac-bd)=0 und (ad+bc)=0 setze, habe ich zwei GLeichungen mit 4 Variablen. Da komme ich nicht weiter.

Und ich würde ungern über den Abstand und die Darstellung einer komplexen Zahl im Koordinatensystem argumentieren.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

N8eule

14:29 Uhr, 22.07.2022

Tipp:
Eulerdarstellung der Zahlen

michaL aktiv_icon

14:45 Uhr, 22.07.2022

Hallo,

0 = (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

führt (wie du schreibst) zu

a c - b d = 0

und

a d + b c = 0

.

Multipliziere die erste Gleichung mit

d

, die zweite mit

c

und subtrahiere:

0 = 0 - 0 = a c d - b d^{2} - (a c d + b c^{2}) = - b (d^{2} + c^{2})

Unter der Annahme, dass

c + d i \neq 0

gilt, folgen

c^{2} + d^{2} \neq 0

und daraus

- b = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} b = 0

.

Multiplizierst du erste Gleichung mit

c

, die zweite mit

d

und addierst(!), so ergibt sich:

0 = 0 + 0 = (a c^{2} - b c d) + (a d^{2} + b c d) = a (c^{2} + d^{2})

Unter der Annahme, dass

c + d i \neq 0

gilt, folgen

c^{2} + d^{2} \neq 0

und daraus

a = 0

.

Ergo: Gelten

0 = (a + b i) (c + d i)

und

c + d i \neq 0

, so folgt

a + b i = 0

.

Damit ist die Arbeit eigentlich getan. Vielleicht zur Verdeutlichung: Ist das Produkt Null, so könnte der zweite Faktor Null sein (und damit [mindestens] einer der beiden Faktoren Null). Ist der zweite Faktor aber nicht Null, so muss es der erste Faktor sein. Und wieder: Mindestens einer der beiden Faktoren wäre dann Null.

Mfg Michael

PS:
> habe ich zwei GLeichungen mit 4 Variablen. Da komme ich nicht weiter.

Nicht aufgeben. Manchmal dauert es eben, bis man sich da durchgebissen hat. Kann auch mal Tage dauern.

Luisamueller aktiv_icon

15:08 Uhr, 22.07.2022

Vielen, vielen Dank für die gute und schnelle Antwort!

ledum aktiv_icon

16:07 Uhr, 22.07.2022

Bitte abhaken, wenn eine Frage erledigt ist
ledum

HAL9000

10:23 Uhr, 24.07.2022

Oder so: Aus

a c - b d = 0

und

a d + b c = 0

folgt über die Summe beider Quadrate

0 = {(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})

.

Nach Nullproduktsatz ist damit

a^{2} + b^{2} = 0

(was sofort

a = b = 0

ergibt) oder aber

c^{2} + d^{2} = 0

(entspricht

c = d = 0

ermanus aktiv_icon

13:47 Uhr, 24.07.2022

Ist

(a + b i) (c + d i) = 0

, so folgt

(a - b i) (a + b i) (c + d i) (c - d i) = 0

, also

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = 0

und da
der Körper

ℝ

nullteilerfrei ist

a^{2} + b^{2} = 0

oder

c^{2} + d^{2} = 0

, folglich

a = b = 0

oder

c = d = 0

michaL aktiv_icon

14:30 Uhr, 24.07.2022

Hallo,

oder - wie durch N8eule schon angedeutet:

r_{1} e^{i φ_{1}} \neq 0

und

r_{2} e^{i φ_{2}} \neq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} r_{1}, r_{2} \neq 0 \Rightarrow r_{1} e^{i φ_{1}} \cdot r_{2} e^{i φ_{2}} = r_{1} \cdot r_{2} e^{i φ_{1} + φ_{2}} \neq 0

.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.07.2022

Ja, N8eule hat ja Recht. Aber:
Wenn die Multiplikation der komplexen Zahlen
rein algebraisch über reelle Zahlenpaare eingeführt
wurde, ist die Euler-Darstellung gar nicht verfügbar.

michaL aktiv_icon

15:49 Uhr, 24.07.2022

Hallo,

ja, da gibt's so viele Möglichkeiten. In Analysis 2 (Oder war es schon Einführung in die Funktionalanalysis?) führte der Professor die komplexen Zahlen über zweireihige Matrizen der Art

(\begin{array}{rr} a & - b \\ b & a \end{array})

ein. Hier erkennt man die Eulerdarstellung schon fast direkt. Vor allem, wenn man schon Drehmatrizen kennengelernt hat.

Aber, ich stimme zu: Hal9000s und dein Weg sind schon schöner.

A propos: Schön, dass man wieder postings von dir liest.

Mfg Michael

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