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Produkt zweier Treppenfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

erstii

19:25 Uhr, 05.11.2017

Hallo,

gegeben sind zwei Treppenfunktionen

φ, μ : [a, b] \to ℝ

Ich soll zeigen, dass

φ \cdot μ

wieder eine Treppenfunktion ist.

Ich habe mir überlegt, dass es dann Treppenzerlegungen

Z

bzgl

φ

und

Y

bzgl

μ

gibt, die wie folgt aufgeteilt sein sollen.

Zu der Aufteilung von

Z :

a = z_{0} < z_{1} < . .

< z_{k} = b

Zu der Aufteilung von

Y :

a = y_{0} < y_{1} < . .

< y_{l} = b

Für den Beweis habe mir überlegt eine Fallunterscheidung zu machen.
Ich schneide das mal kurz für das erste Intervall an, auf dem ich zeigen möchte, dass

φ \cdot μ

konstant ist.

Für

z_{1} < y_{1}

wähle ich dann

x_{1} \in (a, z_{1})

Dann ist

c := φ (x_{1}) \cdot μ (x_{1})

konstant.
Für

y_{1} < z_{1}

würde ich

x_{1} \in (a, y_{1})

wählen.

Nun denke ich aber, dass es zu viele Fälle gibt, um das formal sauber aufzuschreiben.

Ich würde mich über ein paar Vorschläge freuen, wie man an die Aufgabe lösen kann.
Vielleicht fällt jemanden ja auch ein anderer Lösungsweg ein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:34 Uhr, 05.11.2017

Hallo,

wie habt Ihr Treppenfunktionen definiert? Mit Hilfe charakteristischer Funktionen für Intervalle, also

χ (I) (x) = 1

wenn

x \in I, = 01

wenn

x \notin I

Dann überlege, was für zwei Intervalle I,J

χ (I) (x) \cdot χ (J) (x)

ist.

Gruß pwm

erstii

20:57 Uhr, 05.11.2017

Charakteristische Funktionen hatten wir mal kurz angeschnitten, die hatte ich aber nicht mehr im Kopf.

Das ist eine gute Möglichkeit, um hier etliche Fallunterscheidungen zu umgehen .. danke für die Hilfe!

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