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Produktintegration

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integration, produkt

Kurosaki aktiv_icon

18:28 Uhr, 17.02.2011

Hallo,

ich hab Paar Probleme bei zwei Aufgaben, die man mit der Produktintegration berechnen soll.

Formel dafür: $\int_{a}^{b} u (x) * v' (x) d x = (u (x) * v (x)) \begin{matrix} b \\ a \end{matrix} - \int_{a}^{b} u' (x) * v (x) d x$

Hier die Aufgaben:

2c) $\int_{0}^{3} x * (x - 3) ³ d x$

u(x) = x --> u'(x) = 1

v'(x) = (x-3)³ --> v(x) = 1/4 (x-3)^4

= $[x * (1 / 4 {(x - 3)}^{4})] \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} - \int_{0}^{3} 1 * {(x - 3)}^{3} d x$

= $[x * 1 / 4 {(x - 3)}^{4} - 1 / 4 {(x - 3)}^{4}] \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}$

Danach setz ich einmal für x = 0 ein und einmal für x = 3 und subtrahiere beides, kommt aber ein anderes Ergebnis als auf meinem TI raus, also ist es wohl falsch.

Nr. 4 a)

Bestimmen Sie das Integral durch zweimalige Anwendung der Produktingetration.

$\int_{0}^{2} x² * e^{x} d x$

u(x) = x² --> u'(x) = 2x

v'(x) = e^x --> v(x) = e^x

Und weiter hab ich gar keine Ahnung.., hab schon mit der leichteren Aufgabe davor so meine Probleme.

Hoffe, mir kann jemand weiter helfen.

MfG, Kurosaki

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Shipwater aktiv_icon

21:14 Uhr, 17.02.2011

Dann mach es dir doch einfach und bestimme zuerst nur

\int x \cdot {(x - 3)}^{3} d x

also ohne Grenzen.

v (x) = x \Rightarrow v' (x) = 1

und

u' (x) = {(x - 3)}^{3} \Rightarrow u (x) = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4}

sind schon gut gewählt. Es ergibt sich:

\int x \cdot {(x - 3)}^{3} d x = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4} \cdot x - \int \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4} d x = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4} \cdot x - \frac{1}{4} \int {(x - 3)}^{4} d x = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4} \cdot x - \frac{1}{20} \cdot {(x - 3)}^{5} (+ C)

Demnach ist

\int_{0}^{3} x \cdot {(x - 3)}^{3} d x = F (3) - F (0)

mit

F (x) = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{4} \cdot x - \frac{1}{20} \cdot {(x - 3)}^{5}

Ich erhalte dann schließlich

\int_{0}^{3} x \cdot {(x - 3)}^{3} d x = - 12,15

Gruß Shipwater

Kurosaki aktiv_icon

14:52 Uhr, 18.02.2011

Ah okay, also muss ich dann später noch die Aufleitung bilden. Das hatte ich total vergessen. Danke.

Aber eine Rückfrage zu dem (+ C) was genau soll diese Konstante darstellen?

Okay also hier mein halber Vorschlag für die 4 a)

$\int_{0}^{2} x² * e^{x} d x$

u(x) = x² --> u'(x) = 2x

v'(x) = e^x --> v(x) = e^x

$= [x^{2} * e^{x}] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - \int_{0}^{2} 2 x * e^{x} d x = [x^{2} * e^{x}] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - 2 x * \int_{0}^{2} e^{x} d x = [x^{2} * e^{x}] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} - (2 * (x - 1) * e^{x})$

Ist das so richtig soweit?

Das wäre dann ja die erste Anwendung der Produktintegration.

Und was muss ich jetzt bei der zweiten machen? bzw. bei muss ich die zweite Produktintegration anwenden?

MfG, Kurosaki

Shipwater aktiv_icon

15:41 Uhr, 18.02.2011

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Daher das

+ C

. So sind zum Beispiel sowohl

F_{1} (x) = \frac{1}{3} x^{3}

als auch

F_{2} (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 1

Stammfunktionen von

f (x) = x^{2}

. Alle Stammfunktionen zusammen bilden quasi eine Funktionenschar und deswegen schreibt man dann auch

F_{C} (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C

.

Jetzt zu der

4 a)

. Du hast einen Fehler gemacht. Du darfst nur eine Konstante vor das Integral ziehen, nicht aber zum Beispiel

2 x

. Und die Grenzen würde ich vorerst wieder weglassen, damit es übersichtlicher ist.

\int e^{x} \cdot x^{2} d x = e^{x} \cdot x^{2} - \int e^{x} \cdot 2 x d x = e^{x} \cdot x^{2} - 2 \int e^{x} \cdot x d x

Und für

\int e^{x} \cdot x d x

wendest du jetzt erneut partielle Integration an.

Gruß Shipwater

Kurosaki aktiv_icon

18:57 Uhr, 18.02.2011

Achja, stimmt! - Jetzt, wo Du es erwähnst, kommen Erinnerung des Unterrichts wieder^^

Zu 4)

Oh, okay. Also irgendwo hab ich schon einen Fehler bei

$\int e^{x} * x d x u = x; u' = 1 v' = e^{x}; v = e^{x} = x * e^{x} - \int 1 * e^{x} d x = [x * e^{x} - e^{x}] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}$

Da kommt 2 raus, müsste aber laut TI $e^{x} + 1$ rauskommen.

Naja und danach muss man das was rauskommt halt in das vorherige einsetzen.

Ich setz dann jetzt einfach mal das richtige Ergebnis ein.

= $[x^{2} * e^{x} - (2 * (e^{2} + 1))] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}$

Okay da kommt jetzt auch was falsches raus -.- und zwar -4 (e^(2)-1)*(e^(2)+1).

und rauskommen sollte 2* e^(2)-2

hmm. Ich hab das 1 * e^(x) falsch aufgeleitet?

Ah ja, glaube schon, da muss x * e^(x) hinkommen, aber im Endeffekt kommt trotzdem was falsches raus..^^

Shipwater aktiv_icon

19:23 Uhr, 18.02.2011

e^{x} \cdot x^{2} - 2 \int e^{x} \cdot x d x = e^{x} \cdot x^{2} - 2 \cdot (e^{x} \cdot x - \int e^{x} d x) = e^{x} \cdot x^{2} - 2 e^{x} \cdot x + 2 e^{x} = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)

Und jetzt berechne

F (2) - F (0)

mit

F (x) = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)

Gruß Shipwater

Kurosaki aktiv_icon

19:37 Uhr, 18.02.2011

Okay, raus kommt jetzt 2*e^2-2.

Vielen Dank für deine Hilfe!

MfG, Kurosaki

Shipwater aktiv_icon

21:06 Uhr, 18.02.2011

Gern geschehen.

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