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Produkt von Produkten

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Tags: produkt, Produktzeichen

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06:23 Uhr, 30.03.2023

Hallo,

gilt folgendes allgemein?

\prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot g (x)

= \prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot \prod_{x = 1}^{n} g (x)

f (x), g (x)

sind beliebige Funktionen mit

x \in ℝ

. Ich habe keine Gegenbeispiele gefunden. Jedoch bleiben Zweifel. Vielleicht hat jemand eine einleuchtende Erklärung.

Danke im Voraus, auch fürs Lesen der Frage.

Gruß
pivot

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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HAL9000

07:54 Uhr, 30.03.2023

> Ich habe keine Gegenbeispiele gefunden.

Dann hast du aber verdammt schlecht gesucht. Bereits ein ganz einfaches Beispiel mit

n = 2

Summanden scheitert:

1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 5 \neq 9 = (1 + 2) \cdot (1 + 2)

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08:00 Uhr, 30.03.2023

Eigentlich geht es doch um Produkte, wenn ich mich nicht irre.

Edit: Ich bin jetzt irgendwie auf die Idee gekommen, dass letztendlich nur die Reihenfolge der Multiplikation vertauscht wird.

HAL9000

08:28 Uhr, 30.03.2023

Asche auf mein Haupt: Ich habe Summen- statt Produktzeichen gesehen. Am frühen Morgen sollte man eben doch auch genau lesen.

Formal muss ich aber noch anmerken, dass links dann besser Klammern gesetzt werden sollten, d.h.

\prod_{x = 1}^{n} (f (x) \cdot g (x))

.

Durch das

x

im Argument von

g

ist im vorliegenden Fall irgendwie klar, dass sich der Geltungsbereich auch auf diesen Faktor erstreckt - i.a. ist dies jedoch nicht so: D.h. streng genommen ist

\prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot g (y) = [\prod_{x = 1}^{n} (f (x)] \cdot g (y)

und damit NICHT

\prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot g (y) \overset{?}{=} [\prod_{x = 1}^{n} (f (x) \cdot g (y)] = [\prod_{x = 1}^{n} (f (x)] \cdot {(g (y))}^{n}

.

Das wird also ähnlich gehandhabt wie bei Summen mit einem Plus-Zeichen im Summanden, d.h.

\sum_{x = 1}^{n} f (x) + g (y) = [\sum_{x = 1}^{n} (f (x)] + g (y)

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08:35 Uhr, 30.03.2023

Morgenstund hat Gold im Mund, oder eben Asche.

Du würdest also Identität prinzipiell bestätigen?

Edit: Ich muss noch deinen Betrag lesen.

HAL9000

08:36 Uhr, 30.03.2023

Mit den eben nachgereichten Einschränkungen hinsichtlich der Schreibweise, ja.

EDIT: Da haben sich auch noch überzählige Klammern eingeschlichen, das ist ja wirklich eine total verkorkste Morgensession von mir. ;-)

\prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot g (y) = [\prod_{x = 1}^{n} f (x)] \cdot g (y)

Falsch:

\prod_{x = 1}^{n} f (x) \cdot g (y) \overset{?}{=} \prod_{x = 1}^{n} [f (x) \cdot g (y)] = [\prod_{x = 1}^{n} f (x)] \cdot {(g (y))}^{n}

\sum_{x = 1}^{n} f (x) + g (y) = [\sum_{x = 1}^{n} f (x)] + g (y)

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08:47 Uhr, 30.03.2023

O.K. Danke. Dann ist das klar. Danke für deine Ausführungen bezüglich der korrekten Notation. Profi eben.

Eigentlich ist gerade die left/right-Schreibweise der Ausweg, damit die Klammern eben nicht unterschiedlich groß dargestellt werden. Warum das jetzt nich funktioniert hat kann ich nicht sagen. Manchmal hilft es, wenn man mit Leerzeichen etwas herumspielt.

Die Morgenstunde macht mich zu langsam. Dank für das erneute posten.
Erst jetzt kann ich es überhaupt lesen :-)

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09:13 Uhr, 30.03.2023

Ich hoffe die Frage ist jetzt abgehakt.

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