Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Projektion

Projektion

Universität / Fachhochschule

Tags: ProjektionvonVaufU

anonymous

08:35 Uhr, 28.12.2021

Hallo,
in dem Beweis, dass die Projektion von

V

auf

U

auch eine Projektion ist, verstehe ich nicht, warum

π (π (u + u')) = π (u) . .

.

Wo bleibt das

π (u')

??

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

09:05 Uhr, 28.12.2021

Hallo,

gilt wie im Lemma

V = U \oplus U ʹ

, so heißt dies, dass

V = {u + u ʹ ∣ u \in U, u ʹ \in U ʹ}

UND, dass die Darstellung

v = u + u ʹ

mit

u \in U

u ʹ \in U ʹ

für jedes

v \in V

eindeutig ist.
(Man spricht von der direkten Summe.)

In dem Fall kann man eine lineare Abbildung

π_{U} : {\begin{array}{rcl} V & \to & V \\ v = u + u ʹ & \mapsto & u \end{array}

definieren.

Diese Abbildung ist zunächst linear und erfüllt

π_{U} \circ π_{U} = π_{U}

. Es ist also eine Projektion.
(All das wird unter anderem in dem Lemma wohl bewiesen, wenn ich das korrekt sehe.)

Du fragst nach:
> warum π(π(u+u′))=π(u)...

Beachte meine Definition oben.

p i_{U}

agiert auf

U

wie die Identität!

Mfg Michael

anonymous

09:52 Uhr, 28.12.2021

Hallo MichaL,
danke für deine Antwort.

Wenn man

π

einfach so definiert wie du es gemacht hast, wird mir der Beweis sofort klar.

Allerdings wird die Projektion in dem Lemma ja nicht genau so definiert. Dann gilt das ja eig. nicht allgemein.

Hätte

π (u + u') = p (u) + p (u') = u + w

für

w

Element aus

U

sein können?

Ich bin irritiert...

DrBoogie aktiv_icon

10:04 Uhr, 28.12.2021

"Allerdings wird die Projektion in dem Lemma ja nicht genau so definiert."

Und wie dann? Wie können die Definition ja nicht sehen.

"Dann gilt das ja eig. nicht allgemein"

Doch, für eine Projektion gilt immer: sie ist Identität auf dem Raum, auf den projiziert wird. Wenn du die Definition zeigst, kann ich auch erklären warum.

anonymous

21:49 Uhr, 28.12.2021

Die Definition müsste die folgende sein:

michaL aktiv_icon

22:11 Uhr, 28.12.2021

Hallo,

sieht für mich genau nach dem aus, was ich geschrieben habe.
Du kannst davon ausgehen, dass in dem Beweis die Abbildung

π_{U}

genau so definiert ist, wie ich notiert habe.

Sind noch Fragen offen?

Mfg Michael

anonymous

22:25 Uhr, 28.12.2021

Okay, dann eine letzte Frage,
warum ergibt sich aus dieser Definition die Abbildung

π,

wie du sie definiert hast

(π (u + u') = u)

π (u + u') = π (u) + π (u') = u + π (u')

Warum muss

π (u') = 0

sein (Also woraus schließe ich das aus der Definition?)

In dieser steht ja lediglich, dass das Bild von

π

wieder in

U

liegt. Könnte dann

π (u')

nicht

z . B

. auch auf

w

abbilden und

w

ist Element U.

Ach ne.. ich merke gerade, dass das nicht funktioniert, denn dann wäre

p (w) = w = p (u')

und somit wäre die Abbildung nicht mehr injektiv / linear?

DrBoogie aktiv_icon

11:22 Uhr, 29.12.2021

π

ist selbstverständlich nicht injektiv.
Und wo hier das Problem mit Linearität entsteht, sehe ich nicht.

Ausgehend von dieser Definition wird es normalerweise so gezeigt.

1. Zeigen, dass

K e r n (π) \cap U = {0}

.
Beweis. Wenn

x \in K e r n (π) \cap U

, dann

0 = π (x) = x

, wobei das erste

=

von der Definition von Kern kommt und das zweite daraus, dass

π_{U}

identische Abbildung ist.

2. Also haben:

U \oplus K e r n (π)

ist eine direkte Summe. Sie hat Dimension

\dim (U) + \dim (K e r n (π)) = \dim (I m (π)) + \dim (K e r n (π))

.

3. Der de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz sagt, dass

\dim (V) = \dim (I m (π)) + \dim (K e r n (π))

. Wenn wir das mit 2 vergleichen, sehen wir, dass

V = U \oplus K e r n (π)

folgt.

4. Sei jetzt

u

aus

V

beliebig. Wir können

u

als

u_{1} + u_{2}

darstellen, mit

u_{1} \in U

u_{2} \in K e r n (u)

.
Dann haben:

π^{2} (u) = π^{2} (u_{1}) + π^{2} (u_{2}) = π (π (u_{1})) + π (π (u_{2})) = π (u_{1}) + π (0) =

= π (u_{1}) + 0 = π (u_{1}) + π (u_{2}) = π (u_{1} + u_{2}) = π (u)

. Hier wurde benutzt, dass

π (u_{1}) = u_{1}

und

π (u_{2}) = 0

, hoffentlich klar warum.

So, jetzt haben wir bewiesen, dass

π^{2} = π

.
Das ist eigentlich, was man im Lemma beweisen musste. Und das ist der Weg, wie es normalerweise bewiesen wird. Was dort steht, ist übrigens kein valider Beweis, da ist zu viel weggelassen worden. Ich vermute, der beweisende hat auch an die falsche Definition gedacht.

DrBoogie aktiv_icon

11:33 Uhr, 29.12.2021

Übrigens, die Aussage: "wenn

V = U \oplus U^{ʹ}

direkte Summe ist und

π

Projektion auf

U

im Sinne von:

π_{U}

ist identische Abbildung und

π (V) = U

ist, dann gilt

π (U^{ʹ}) = {0}

" ist einfach falsch!!!

Beispiel:

π (x, y) = (x, 0)

ist in

ℝ^{2}

eine Projektion auf die

x

-Achse, also

U = {(x, 0) : x \in ℝ^{2}}

. Wenn man

U^{ʹ} = {(x, x) : x \in ℝ^{2}}

nimmt, dann ist

U \oplus U^{ʹ}

direkt, aber

π (U^{ʹ})

ist klar nicht

0

.

Also, dieses Lemma gilt NICHT für x-beliebige Wahl von

U^{ʹ}

, es muss schon das richtige

U^{ʹ}

dort stehen.

DrBoogie aktiv_icon

13:16 Uhr, 29.12.2021

Es war doch zu kompliziert.
Eigentlich ist

π^{2} = π

ganz einfach.
Sei

v

beliebig. Dann per Definition liegt

π (v)

U

. Und da auf

U

haben

π (u) = u

, folgt

π (π (v)) = π (v)

, also

π^{2} (v) = π (v)

anonymous

16:40 Uhr, 29.12.2021

Danke für die ausführliche Erläuterung des Beweises.

Ich denke, dass dieser nun soweit klar geworden ist!

vielen Dank!!

anonymous

16:43 Uhr, 29.12.2021

Und zu dem kürzeren und vllt. leichteren Beweis.
Darauf bin ich gestern tatsächlich auch schon gekommen, habe mich aber die ganze Zeit von dem Beweis im Internet leiten lassen und wollte den auch verstehen.

Liebe Grüße

1548101

1548027

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?