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Projektion von Punkten senkrecht zur x1-x2-Ebene

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, eben, Projektion

anonymous

12:41 Uhr, 16.05.2016

Hallo liebes Forum,

bei der Aufgabe habe ich Schwierigkeiten:

,,Die Punkte

A (2 ∣ 2 ∣ 7), B (2 ∣ 7 ∣ 7), C (7 ∣ 7 ∣ 7), D (7 ∣ 2 ∣ 7)

werden senkrecht
zur

x_{1} - x_{2} -

Ebene in die Ebene

E : 2 x_{1} - 8 x_{2} + 4 x_{3} = 60

projiziert.

Bestimmen Sie die Projektionspunkte

A ʹ, B ʹ, C ʹ, D ʹ

."

Ich komme leider auf keinen Ansatz. Könntet ihr mir bitte einen Tipp geben?
Aber für

A ʹ

hätte ich zum Beispiel eine Vermutung:

A ʹ (2 ∣ 2 ∣ 18)

.

Viele Grüße
NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

13:10 Uhr, 16.05.2016

Die

x_{1} -

bzw

x_{2} -

Koordinaten ändern sich nicht, nur die

x_{3} -

Koordinate. Die Koordinaten des neuen Punktes müssen die Ebenengleichung erfüllen.

z . B

A (2 | 2 | 7)

A' (2 | 2 | x_{3}')

ε : 2 \cdot x_{1} - 8 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = 60

2 \cdot 2 - 8 \cdot 2 + 4 \cdot x_{3}' = 60 \Rightarrow x_{3}' = . .

anonymous

13:22 Uhr, 16.05.2016

Hallo Respon,

alles klar, es macht Sinn! Was mich verwirrt, ist,
wie das mit dem ,,

s e n k r e c h t

zur

x_{1} - x_{2} -

Ebene gemeint ist".

Wenn man z.B. irgendeinen beliebigen Punkt

P

gegeben hat und man soll ihn
an der

x_{1} x_{3} -

Ebene spiegeln, würde man das auch senkrecht spiegeln?

LG
Neymar

Respon

13:35 Uhr, 16.05.2016

Senkrecht bedeutet orthogonal.

anonymous

13:39 Uhr, 16.05.2016

Hallo
Ähm, also mal der Reihe nach.
Respon hat schon richtig angefangen, Verständnis zu schaffen.
Wenn wir einen Punkt

(z . B

A)

auf eine Ebene projezieren, dann

>

projezieren wir senkrecht zu der Ebene,

> d . h

. wir stellen uns gedanklich senkrecht über die Ebene

>

und schauen, wo der Punkt perspektivisch auf der Ebene zu liegen scheint.

> d . h

. wenn wir auf die

x_{1} - x_{2} -

Ebene projezieren,

>

dann stellen wir uns gedanklich in großer

x_{3}

-Entfernung hin,

>

richten unsere Blick- oder Licht-Strahlen in

x_{3}

Richtung

>

und schauen, wo der Punkt perspektivisch auf die

x_{1} - x_{2} -

Ebene zu liegen kommt,

> d . h

. wir "bewegen" den Punkt

(A)

in Richtung

x_{3},

>

die anderen Koordinaten

x_{1}, x_{2}

verändern sich nicht,

>

bis der 'Punkt

A'

als Projektio

A'

auf der Ebene

x_{3} = 0

zu liegen kommt,

> d . h

. die neue Koordinate

x_{3} =

NULL.

Lange Worte kurz zusammengefasst:
Der Punkt

A (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

wird auf die

x_{1} - x_{2} -

Ebene projeziert als
Punkt

A' (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

seine Projektion finden.

"an der

x_{1} - x_{3}

Ebene spiegeln, würde man das auch senkrecht spiegeln?"
Nimm dir mal einen Spiegel in die Hand, und mach dir klar, wie spiegeln geht!
Was soll das heissen "senkrecht spiegeln" ????

Wenn du genau senkrecht auf den Spiegel schaust, dann wird dein Blick- oder Lichtstrahl genau senkrecht gespiegelt, und du schaust dir wieder selbst ins Auge.
Wenn du etwas schiefwinklig auf den Spiegel schaust, dann wird dein Blick- oder Lichtstrahl genau nach dem Prinzip 'Einfallswinkel = Ausfallswinkel' gespiegelt, und du kannst dir auf die Füße oder an die Decke blicken...

anonymous

13:41 Uhr, 16.05.2016

Das ist richtig. Bloß weiß ich leider trotzdem nicht ganz genau, wie das mit
,,

o r t h o g o n a l

zur

x_{1} x_{2} -

Ebene gemeint ist."

Wenn man z.B. irgendeinen beliebigen Punkt

P

gegeben hat und man soll ihn
an der

x_{1} x_{3} -

Ebene spiegeln, würde man das auch orthogonal spiegeln?

P.S. Ich habe deine Antwort nicht gesehen, cositan... Sorry, ich lese sie mir mal durch!!

Respon

13:46 Uhr, 16.05.2016

Aufgabenstellung:
Die Punkte

...

. werden senkrecht zur

x_{1} x_{2} -

Ebene IN DIE gegebene Ebene projeziert.
Bildlich gesprochen: Man marschiert von gegenen Punkt senktrecht zur x_1x_2-Ebene los bis man auf der gegebenen Ebene landet.

Respon

13:50 Uhr, 16.05.2016

Und, alles klar ?

anonymous

13:55 Uhr, 16.05.2016

cositan und Respon,

erst einmal HERZLICHEN DANK für eure Antworten!!! Meine Fragen haben sich geklärt.
Ich glaube, cositan, dass du eventuell einfach die eine Bemerkung in der Aufgabenstellung
vielleicht überlesen hast. Auf jeden Fall habe ich jetzt eure Texte nachvollzogen. ;-)

Roman-22

13:59 Uhr, 16.05.2016

>

Das ist richtig. Bloß weiß ich leider trotzdem nicht ganz genau, wie das mit
,,orthogonal zur x1x2−Ebene gemeint ist."

In der Angabe wird gefordert, dass ein paar Punkte auf eine Ebene

ε

projiziert werden sollen.

Jetzt gibt es aber verschiedene Arten von Projektionen, wie etwa Zentralprojektion, Normalprojektion, schiefe Parallelprojektion und noch eine Reihe von exotischeren.

Daher muss in der Angabe festgelegt werden, um welche Art von Projektion es sich handeln soll.

"senkrecht zur

x_{1} x_{2} -

Ebene" soll nun offenbar ausdrücken, dass es sich um eine schiefe Parallelprojektion handelt, deren Projektionsstrahlen im rechten Winkel zur Grundrissebene

x_{1} x_{2}

stehen.

Senkrecht zu

x_{1} x_{2}

bedeutet nun aber anders ausgedrückt auch parallel zur x_3-Achse, weswegen sich bei dieser Projektion freundlicherweise die

x_{1} -

und

x_{2} -

Koordinaten der abzubildenden Punkte nicht ändern.

Warum du ständig ein "spiegeln" ins Spiel bringst ist mir allerdings unklar.

Bei einer schiefen Parallelprojektion auf eine Ebene Bildebene

ε,

deren Projektionsstrahlen senkrecht zur

x_{1} x_{3}

Ebene (Kreuzrissebene) verlaufen, könntest du feststellen, dass die Projektionsstrahlen parallel zur

x_{2} -

Achse verlaufen. Die

x_{1}

und

x_{3}

Koordinaten der Punkte würden bei dieser Projektion unverändert bleiben.

R

anonymous

14:09 Uhr, 16.05.2016

Upps, ja, die Bemerkung "in die Ebene E..." habe ich tatsächlich überlesen.
Sorry.

anonymous

14:28 Uhr, 16.05.2016

Alles gut, cositan!! :-)

ad Roman-22: Erst einmal finde ich es klasse, dass du darauf eingehst,
dass es unterschiedliche Arten von Projektionen gibt. Cool, vielen Dank!!

Warum ich ständig von ,,spiegeln" schreibe? Wir haben mal mit unserem Lehrer zusammen eine
Aufgabe bearbeitet, in der Punkte gegeben waren und man sie an den Koordinatenebenen
spiegeln sollte. Beispiel: Spiegelung des Puntkes

X (0 | 3 | 0)

an der

x_1 x_3 -

Ebene.
Unser Ergebnis:

X' (0 | - 3 | 0)

. Jetzt habe ich mich gefragt, ob es nicht andere Arten
von Spiegelung geben könnte (wie bei einer Projektion), sodass es auch andere Ergebnisse
geben könnte.

Aber so wie ich es verstanden habe, ist das nicht der Fall, oder?

Roman-22

16:02 Uhr, 16.05.2016

>

Aber so wie ich es verstanden habe, ist das nicht der Fall, oder?

Nun es gibt so nette Dinge wie Inversion (Spiegelung am Kreis oder an einer Kugel), aber wenn man an Punkten, Geraden, oder Ebenen spiegelt, nein.
Man kann natürlich eine Abbildung definieren, bei der die "Spiegelstrahlen" nicht senkrecht zur Spiegelachse oder Spiegelebene sind und bei der der Abstand des Bildpunktes vom Spiegel nicht gleich dem Abstand des Urpunkts vom "Spiegel" ist. Nur würde man das nicht mehr Spiegelung nennen.

Verallgemeinern kann man natürlich immer alles und so könnte man etwa die Spiegelung an einem Punkt als Spezialfall einer Skalierung (mit dem Skalierungsfaktor

- 1)

sehen.

Also die Kurzform: Wenn Spiegelung da steht, ist immer das gemeint, was du bisher auch darunter verstanden hast. Wenn Projektion steht, muss man ein wenig genauer ausführen, was man meint.

R

Femat aktiv_icon

16:22 Uhr, 16.05.2016

Möglicherweise hilft das Bild der Vorstellung.
Beachte die identischen Richtungsvektoren aller Geraden, die je durch

A, B, C, D

verlaufen und die Ebene in den Bildpunkten schneiden

anonymous

17:12 Uhr, 16.05.2016

WOW, IHR SEID EINFACH SUPER!!! :-)
Roman-22, du hast meine große Verwirrung gelöst und Femat, deine Skizze
hat bei mir einen Fehler entlarvt. ;-)

Es gibt noch eine Teilaufgabe, ich hoffe, ihr seid dabei. :-)

,,In welchem Winkel schneiden sich die Geraden durch

A ʹ

und

C ʹ

bzw. durch

B ʹ

und

D ʹ

?
Was sagt Ihnen der Winkel über die Figur, die von

A ʹ

B ʹ

C ʹ

und

D ʹ

gebildet wird?"

Also die Koordinaten von

A ʹ

, etc. kann man in Femats Skizze ablesen.
Ich habe folgenden Schnittwinkel raus:

γ \approx 50, 71 °

Aber was sagt mir das über die Figur aus? Mit der Frage tue ich mir ein bisschen schwer ...

Viele Grüße
NeymarJunior

Femat aktiv_icon

17:43 Uhr, 16.05.2016

Ich vermute, die wollen hören, dass es sich nicht mehr um ein Quadrat handelt, weil sich die Diagonalen nicht senkrecht schneiden, also ist es ein gewöhnliches Parallelogramm.

Roman-22

18:25 Uhr, 16.05.2016

Der Schnittwinkel

{50,706}^{\circ}

ist richtig. Es ist der Supplementärwinkel zum Winkel

α = {129,29}^{\circ},

den du in Femats Zeichnung links unten siehst.

Was man daraus schließen soll ist mir aber, so wie die Frage formuliert ist, auch nicht ganz klar. Ich nehme jedoch an, dass Femat mit seiner Vermutung Recht hat.

Da jede Parallelprojektion parallelentreu ist, muss das Bild des Quadrats ABCD in der Ebene

ε

auf jeden Fall ein Parallelogramm sein.

In Sonderfällen könnte es sogar ein Rechteck sein, unter Umständen sogar wieder ein Quadrat.

Der Schnittwinkel zwischen

A' C'

und

B' D'

taugt zur Untersuchung nur bedingt.
Ist er 90°, so handelt es sich um eine Raute und man muss noch gesondert untersuchen, ob es sich vielleicht sogar um ein Quadrat handelt.
Ist er, so wie hier, nicht 90°, so liegt sicher keine Raute (und damit auch kein Quadrat) vor, aber ob es vielleicht ein Rechteck ist, müsste man noch extra untersuchen.

Die angesprochenen Untersuchungen könnten etwa den Winkel

A' B'

mit

A' C'

umfassen, oder aber auch die Prüfung, ob die Diagonalen gleich lang sind.

Im vorliegenden Fall liegt auch kein Rechteck vor - es ist tatsächlich ein allgemeines Parallelogramm (dessen Seiten sich wie

2 : 1

verhalten).

R

anonymous

07:54 Uhr, 17.05.2016

Hallo Femat und Roman-22,

ich habe mir eben gerade eure Antworten durchgelesen und sie verstanden. ;-) Einfach klasse!

Femat, ich hätte eine große Bitte an dich: Es haut mich im wahrsten Sinne des Wortes vom Hocker, wie gut du dich mit GeoGebra auskennst. Könnten wir bitte das, was du gemacht hast, in einzelnen Schritten durchgehen,
damit ich das auch für zukünftige Aufgaben benutzen kann? :-) Das wäre FANTASTISCH!
Ein bisschen kenne ich mich mit dem Programm schon aus, aber jetzt auch nicht so viel ...

Ansonsten habe ich zum Mathematik-Teil keine Fragen mehr. DANKE, Roman-22 und Femat!!

Viele Grüße
NeymarJunior

Femat aktiv_icon

08:58 Uhr, 17.05.2016

Also hier eine Anleitung in groben Zügen. Was dir nicht bekannt ist und du an mir so bewunderst must du mir näher erläutern.
Ansicht

3 D

Grafik wählen
Punkte

A, B, C, D

eingeben
Ebenengleichung eingeben
Richtungsvektor

v

eingeben. Das geht analog Punkteingabe, einfach mit kleinbuchstabe also "v(0,0,1)"
Ins Eingabefeld "gerade" schreiben und

[

<Punkt>, <Richtungsvektor>] auswählen.
Für Punkt A und für Richtungsvektor

v

eingeben und schon hast du die Projektionsgerade

t

für A.
Entsprechend für die anderen drei Punkte.
Befehl "Schneide". Jeweils Ebene und Gerade anklicken. Gibt die Schnittpunkte der Projektionsgeraden auf der Ebene.

anonymous

09:43 Uhr, 17.05.2016

Perfekt, damit habe ich schon einmal dein erstes Bild mit Geogebra nachkonstruiert. :-)

Wie hast du bei deinem zweiten Bild eine Gerade durch z. B.

A ʹ

und

C ʹ

gezeichnet?

Femat aktiv_icon

10:27 Uhr, 17.05.2016

Das ist die einfachste Art eine Gerade zu zeichnen.
Schaltfläche Gerade. Beide Punkte anklicken, durch welche die Gerade verlaufen soll.
Oder:
Ind Eingabefeld gerade eintippen und die erste Auswahl wählen und die Beiden Punktnamen eingeben.
übrigens kann man nicht nur Punktnamen oder Vektornamen eingeben. Man kann sogar die Koordinaten in Klammern konkret eingeben

anonymous

18:39 Uhr, 17.05.2016

Auch hier möchte ich mich für deine Tipps HERZLICH bedanken!! Ich bin mir ziemlich sicher,
dass ich ab jetzt mehr mit GeoGebra arbeite... ;-)

Viele Grüße
NeymarJunior

1307443

1307013

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