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Projektion/Orthogonalprojektion

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Jantscher aktiv_icon

14:49 Uhr, 12.05.2020

Hallo, was ist der Unterschied zwischen der Orthogonalprojektion von einen Vektor auf einen Unterraum zwischen einer Projektion von einen Vektor auf einen Unterraum?

Gibt es einen Unterschied zwischen Orthogonalprojektion und Projektion?

Ich bräuchte die Antwort für folgendes Beispiel:

Basis ist gegeben durch

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), \vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix})

welche den Unterraum

V

aufspanen.

Aufgabe: Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von

\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

auf V.

Muss ich hier nun vorher eine Orthonomalbasis bilden um die Orthogonalprojektion zu machen oder kann ich auf die normale Basis projezieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

15:12 Uhr, 12.05.2020

Hallo,

> Gibt es einen Unterschied zwischen Orthogonalprojektion und Projektion?

Ja, man muss ja nicht unbedingt orthogonal projizieren. Es kann ja auch entlang irgendeiner Richtung sein.

Stelle dir eine Ebene (durch den Ursprung) im

ℝ^{3}

vor. Wie gehst du vor, wenn du einen Vektor orthogonal zu dieser Ebene projizieren wolltest?

Wenn du das 'raus hast, dann übertrage die Vorgehensweise auf das vorliegende Beispiel!

Mfg Michael

Jantscher aktiv_icon

15:20 Uhr, 12.05.2020

Oke,

wir haben lediglich die Formel

U = (\vec{w} \cdot \vec{v 1}) \cdot \vec{v 1} + (\vec{w} \cdot \vec{v 2}) \cdot \vec{v 2}

behandelt. Hier handelt es sich um eine Orthogonalprojektion von

\vec{w}

auf

U,

welcher von

\vec{v 1}

und

\vec{v 2}

aufgespannt wird, oder?

Die Frage ist jetzt ob die Vektoren

\vec{v 1}

und

\vec{v 2}

eine Orthonormalbasis sein müssen oder eine normale Basis?

michaL aktiv_icon

16:50 Uhr, 12.05.2020

Hallo,

hm, also willst du meinen Hinweis nicht verwenden?

Also: Gesucht ist ein Element in

V := 〈 {\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2} 〉

. Allgemein ist dies ja von der Art

{\vec{v}}_{a, b} := a \cdot {\vec{v}}_{1} + b \cdot {\vec{v}}_{2} \in V

mit

a, b \in ℝ

.

Wann habe ich zu einem Vektor

\vec{v}

den richtigen Vektor

{\vec{v}}_{a, b} \in V

gefunden?
Na, doch offenbar genau dann, wenn

(\vec{v} - {\vec{v}}_{a, b}) ⊥ {\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}

gilt.

Kannst du damit etwas anfangen?

> U=(w→⋅v1−→)⋅v1−→+(w→⋅v2−→)⋅v2−→

Diese Formel gilt nur für normierte Vektoren

{\vec{v}}_{i}

(

i = 1; 2

). Orthogonal müssen sie dafür nicht sein.

Mfg Michael

Jantscher aktiv_icon

17:28 Uhr, 12.05.2020

Wir haben immer nur mit der Formel gearbeitet..

Also hab ich das nun richtig verstanden:

Die Basis ist gegeben durch

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

und

\vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix})

a)

Projezieren Sie den Vektor

\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

auf den Unterraum

V

b)

Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von

\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

auf V.

Antwort: Bei

a)

muss ich lediglich die Vektoren

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

und

\vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix})

normieren und in die Formel einsetzen:

U = (\vec{v 1} \cdot \vec{w}) \cdot \vec{v 1} + (\vec{v 2} \cdot \vec{w}) \cdot \vec{v 2}

Bei

b)

muss ich vorher eine Orthonormalbasis bestimmen (zb. mit Gram-Schmidt) und dann die gefundene Orthonormalbasis in die Formel

U = (\vec{v 1} \cdot \vec{w}) \cdot \vec{v 1} + (\vec{v 2} \cdot \vec{w}) \cdot \vec{v 2}

einsetzen.

Stimmt das nun so?

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