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Prüfen der linearen Abhängigkeit von Vektoren R^4
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hi! Habes folgendes Problem zu lösen: Gegeben sin die Vektoren a1, a2, a3, a4, b;
= a1;
=a2;
=a3;
=a4;
=b;
Für welche a aus R kann sind die Vektoren, a1, a2, a3, a4, linear unabhängig; Für welche a aus R kann man b als Linearkombination von a1, a2, a3, a4 schreiben?
Um die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen würde ich die 4 Vektoren a1, a2, a3, a4 mal in eine 4x4 Matrix schreiben und auf Zeilenstufenform bringen... Nur dann weiß ich nicht mehr wirklich weiter was ich tun soll? Ad Frage zwei ist mir klar, dass man einen Vektor als Linearkombination schreiben kann, wenn die Vektoren linear abhängig sind, nur konkret auf das Bsp. anwenden kann ich das momentan nicht
Hoffe man kann mir weiterhelfen
lg philipp |
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Die Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn die 4x4-Matrix von der du sprichst Determinante 0 hat. Also (wie du sagst) am einfachsten auf Zeilenstufenform bringen und die Elemente in der Diagonale multiplizieren. Du schaust dann, für welche da 0 rauskommt. Gruß, F |
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Warum muss die Determinante einer Matrix von 4 linear unabhängigen Vektoren null sein? Und warum muss man dann nur noch die Diagonalelemente multiplizieren und und die Nullstellen dieses Polynoms betrachten?!? Dachte mir, um eine Determinante zu berechnen muss man immer nach einer Zeile oder Spalte entwickeln?!?! lg philipp |
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Korrektur: von abhängigen ist sie , von unabhängigen ist sie . Das ist ein Satz aus der linearen Algebra, den du vielleicht nicht kennst. Es läuft darauf hinaus, das lineare Gleichungssystem für nicht alle zu lösen. Das ist eben genau dann möglich, wenn die Determinante ungleich ist. Wenn du das nicht benutzen willst oder kannst, dann musst du das Gleichungssystem "zu Fuß" umformen und es läuft mit Gaußverfahren auf dasselbe hinaus. Zu deiner zweiten Frage: Wenn du die Matrix auf Stufenform bringst, ändert sich die Determinante nicht. Wenn du die Matrix in Stufenform nach der ersten Spalte entwickelst ist das Ergebnis der Eintrag ganz links ganz oben mal die Determinante der Matrix, die du durch Streichen der ersten Zeile und ersten Spalte bekommst. Diese kleinere Matrix ist schon in Stufenform und indem du so fortfährst ergibt sich für die Determinante eben gerade das Produkt der Diagonalelemente. |
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Okay hab das Ganze jetzt mal nachvollzogen und durchgerechnet.. kommt über Determinanten bzw. über Onkel Gauß beides mal für linear Abhägigkeit heraus. Wie kann ich jetzt aber beim zweiten Teil der Aufgabe vorgehen! |
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Zu 2.) b kann als LK geschrieben werden, wenn die Matrix bestehend aus den a's und die Matrix bestehend aus den a's mit dem Vektor b als zusätzliche Spalte gleichen Rang haben! |
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Wenn ich Zeilstufenform mit der erweiterten Koeffizientmatrix hoffentlich richtig durchgeführt habe, würde dann also rauskommen, dass die Ursprungsmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix den gleichen Rang für alle a außer 8; 22/5; wenn ich mich nicht verrechnet habe...
folglich lasst sich b als Linearkomb für alle a außer 8; 22/5 schreiben, sehe ich das richtig? |
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