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Prüfen, ob Teilemenge Teilraum von Vektorraum ist

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Teilmenge, Teilraum, Vektorraum

vaider aktiv_icon

11:13 Uhr, 02.01.2013

Hallo,

wie in der Frage schon steht, soll geprüft werden, ob folgende Teilmengen Teilräume des Vektorraums

V = R^{3}

sind.

Ich habe zwei Teilmengen. Wäre nett, wenn jemand bei der Ersten helfen würde, die Zweite würde ich dann gern selbst versuchen.

U_{1} = \vec{v} = (\begin{array}{rcl} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}) \in R^{3} ∣ v_{1} = v_{2}

Ich habe gelesen, dass eine Teilmenge genau dann einen Untervektorraum von V bildet, wenn sie nichtleer und abgeschlossen ist. Es muss also

U \neq \emptyset, u + w \in U, α \cdot u \in U

für alle Vektoren und alle Skalare sein.

Kann da vielleicht jemand helfen. Ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

11:58 Uhr, 02.01.2013

Hossa ;-)

Da bereits bekannt ist, dass

V = ℜ^{3}

ein Vektorraum ist, gelten darin die entsprechenden Körperaxiome. Also gelten sie insbesondere für alle Vektoren aus der angegebenen Teilmenge

U_{1}

. Ein Untervektorraum darf nicht leer und muss "abgeschlossen" sein. Das heißt, jede Linearkombination von 2 Vektoren aus der Teilmenge

U_{1}

muss wieder in der Teilmenge

U_{1}

liegen. Das musst du noch zeigen.

Man kann sofort unendlich viele Vektoren aus

U_{1}

angeben, die Menge ist also nicht leer. 2 Vektoren sind z.B.

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ a \\ x \end{array}), \vec{w} = (\begin{array}{c} b \\ b \\ y \end{array}) \in U_{1}

Die Linearkombination davon ist:

z = λ \vec{v} + μ \vec{w} = λ (\begin{array}{c} a \\ a \\ x \end{array}) + μ (\begin{array}{c} b \\ b \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} λ a + μ b \\ λ a + μ b \\ λ x + μ y \end{array}) \in U_{1}

Da die erste und zweite Komponente der Linearkombination stets gleich sind, liegt diese auch in

U_{1}

, also ist

U_{1}

abgeschlossen.

Ok?

vaider aktiv_icon

13:50 Uhr, 02.01.2013

Hmm. Ich frage mich aber, wie du auf

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} a \\ a \\ x \end{array})

und

\vec{w} = (\begin{array}{rcl} b \\ b \\ y \end{array})

kommst.

Die zweite Teilmenge der gleichen Aufabe lautet

v_{1}^{2} = v_{2}^{2}

. Und wenn ich jetzt auf der Suche nach Vektoren aus

U_{1}

bin, weiß ich nicht, wo ich da ansetzen soll.

DerDepp aktiv_icon

13:48 Uhr, 04.01.2013

Hossa ;-)

Die Vektoren aus

U_{1}

sind genau solche, bei denen die erste und zweite Komponente gleich ist. Daher haben diese Vektoren alle die Form:

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ a \\ x \end{array})

Darin kann man

a

und

x

frei wählen. Durch die Form des Vektors ist sicher gestellt, dass er immer in

U_{1}

landet (weil ja die erste und zweite Komponente immer gleich a sind und damit denselben Wert haben). Im Beweis oben habe ich nun zwei solche Vektoren ausgewählt:

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ a \\ x \end{array}); \vec{w} = (\begin{array}{c} b \\ b \\ y \end{array})

Beim Vektor

\vec{v}

sind die ersten beiden Komponenten gleich a, haben also denselben Wert und sind daher in

U_{1}

. Das gleiche gilt für den Vektor

\vec{w}

, bei dem die ersten beiden Komponenten den Wert b haben. a und b können zufällig gleich sein, müssen es aber nicht. Jede Linerakombination aus den beiden Vektoren liegt wieder in

U_{1}

. Also ist

U_{1}

abgeschlossen und damit ein Untervektorraum.

Bei der zweiten Teilmenge, ich nenne sie mal

U_{2}

sollen die Quadrate der ersten beiden Komponenten gleich groß sein. Ich würde hier einfach allgemeine Vektoren ansetzen, für die die jeweilige Nebenbedingung gilt. Für jeden Vektor aus

U_{2}

gilt:

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ x \end{array}); a^{2} = b^{2}

Zwei Vektoren aus

U_{2}

wären also:

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ x \end{array}); a^{2} = b^{2}

und

\vec{w} = (\begin{array}{c} c \\ d \\ y \end{array}); c^{2} = d^{2}

Eine beliebige Linearkombination mit

λ, μ \in ℜ

sieht so aus:

λ \vec{v} + μ \vec{w} = λ (\begin{array}{c} a \\ b \\ x \end{array}) + μ (\begin{array}{c} c \\ d \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} λ a + μ c \\ λ b + μ d \\ λ x + μ y \end{array})

Jetzt prüfst du, ob die Bedinung erfüllt ist, dass die Quadrate der ersten beiden Komponenten gleich sind, ob also gilt:

(λ a + μ c)^{2} = (λ b + μ d)^{2}

λ^{2} a^{2} + 2 λ a μ c + μ^{2} c^{2} = λ^{2} b^{2} + 2 λ b μ d + μ^{2} d^{2}

a c = b d

Die letzte Bedinung wird im Allgemeinen nicht erfüllt sein. Also ist

U_{2}

kein Untervektorraum des

ℜ^{3}

.

Ok?

vaider aktiv_icon

20:26 Uhr, 04.01.2013

Wow, echt wunderbar erklärt...

Vielen lieben Dank! Hast mir sehr geholfen.

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