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Prüfen ob Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Multiplikation, Skalarmultiplikation, Vektoraddition, Vektorraum

Manuel91 aktiv_icon

20:04 Uhr, 04.10.2017

Hey Leute, ich habe eine Frage, bei der ihr mir hoffentlich helfen könnt:

(c)

Eine nichtleere Teilmenge

U

eines Vektorraums

V

ist genau dann ein Vektorraum, wenn

λ \cdot u + μ \cdot v \in U

für alle

u, v

∈

U

und

λ, μ \in R

gilt (Unterraumkriterium).

Stellen Sie eine Vermutung auf, welche der nachfolgenden Mengen Vektorräume sind samt Begründung, warum diese plausibel ist. Beweisen Sie im Anschluss Ihre Vermutung!

i

{(x 1, x 2, x 3) \in R 3 : 3 x 1 - x 2 + x 3 = 0},

ii.

{(x 1, x 2) \in R 2 : x 2 = x 1^{2}}

.
iii.

(\begin{matrix} 2 a + 3 b \\ a - b \end{matrix}) \in R^{2} : a, b \in R}

iv.

(\begin{matrix} 2 a + 3 b \\ a \cdot b \end{matrix}) \in R 2 : a, b \in R}

Bei

i

bin ich zum Schluss gekommen, dass es sich um einen Vektorraum handelt, bei ii, dass es keiner ist.
Ich habe hierbei beliebige Vektoren gesucht, die die Bedingungen (also zB

3 x 1 - x 2 + x 3 = 0)

erfüllen, und getestet, ob sie diese nach Addition mit einem anderen Vektor, der die Bedingung ebenfalls erfüllt oder Multiplikation mit einem Skalar, auch noch erfüllen.

Bei iii. und iv. allerdings komme ich nicht weiter. Ich habe keinen Plan wie ich beweisen soll, ob es sich um einen Vektorraum handelt oder nicht... Vor allem die Bedingung:

a, b \in R

verwirrt mich.

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen? Würde mir eine große Hilfe sein :-)

LG Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

ledum aktiv_icon

21:31 Uhr, 04.10.2017

Hallo
iii :
/lambda*(2a+3b,a−b)+\mu*(2c+3d,c-d)=(2*(\lambda*a+\mu*c)+3*(\lambda*b+\mu*d),

λ \cdot a + μ \cdot c - (λ \cdot b + μ \cdot d)

wegen

(λ \cdot a + μ \cdot c) = e \in ℝ

und

(λ \cdot b + μ \cdot d) = f \in ℝ

hast du einen Vektor

(2 e + 3 f, e - f)

e, f \in ℝ

also von derselben Art also in dem VR.
dasselbe solltest du mit

a)

machen, ein paar Beispiele sind unnütz.
schreibe einen allgemeinen Vektor hin, der die Gl. erfüllt etwa

(x 2 = a, x 3 = b x_{1} = \frac{b - a}{3}

oder

x 1 = r, x_{2} = s x_{3} = s - 3 r

ras in

ℝ

dann zeige, dass wieder wie in iii
entsprechend in ii und iv dass es kein VR ist.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

23:49 Uhr, 04.10.2017

Danke, ich glaube das hilft mir gut weiter :-)

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