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Prüfen ob punkte auf ebene Liegen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektoren/Spatprodukt

robocop aktiv_icon

13:43 Uhr, 18.03.2015

Hi,

A (6; 2; 1) B (3; 4; 3) c (9; - 2; - 2) D (- 3; 3; 3)

Es soll geprüft werden ob die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Dazu hab ich mir folgendes gedacht:

Also ich kann ja die Spann/richtungsvektoren bilden

hier hab ich jetzt mal A als Aufpunkt der Ebene genommen:

Damit AB=

(\begin{matrix} 3 - 6 \\ 4 - 2 \\ 3 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = a

AC=

(\begin{matrix} 9 - 6 \\ - 2 - 2 \\ - 2 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) = b

ÁD=

(\begin{matrix} - 3 - 6 \\ 3 - 2 \\ 3 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = c

Jetzt habe ich das Spatprodukt gebildet mit

[

abc].
Dort müsste ja laut Definition gelten

[

abc]=0 wenn die Punkte in einer Ebene liegen.

Wenn nicht würden die drei Richtungsvektoren ja ein Spat aufspannen.

Also:

[

abc]= a*(bxc)

= (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 9 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 21 \\ - 33 \end{matrix}) = 15 + 42 - 66 = - 9

ungleich

0 - \to

liegen nicht in einer Ebene!!

Zweite teil der Augabe:
Verändern Sie einen eine beliebige Koordinate vom Punkt

D

damit der Punkt in einer Ebene liegt.

da hab ich jetzt probleme.

Könnte ich jetzt einfach sagen, dass ich anstatt

D = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

den Punkt

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ x \end{matrix})

so mein Ansatz und dann wieder die gleiche Rechnung wie oben.

Dann komme ich auf GLS welches ich nach

x

Auflöse. mit Vorgabe, dass das Spatprodukt

= 0

ist. kommt aber nur Müll raus bei mir.

Lösung ist,

D = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1,5 \end{matrix})

Danke für die Hilfe

!!

gibt es auch andere möglichkeiten evtl. über Parameterform der Ebene ??

Ginso aktiv_icon

14:14 Uhr, 18.03.2015

So wie ich das sehe, ist der erste Teil völlig korrekt.
Der Ansatz für den zweiten Teil ist ebenfalls Korrekt.
Bei der angegeben Lösung, wurden 2 Koordinaten verändert. Sicher, dass du die Punkte richtig abgeschrieben hast?
Poste doch mal dein LGS und deine Lösung, dann schauen wir ob sie stimmt oder falls nicht, wo der Fehler ist

Edddi aktiv_icon

14:17 Uhr, 18.03.2015

. .

. natürlich! Da 3 Punkte IMMER in einer Ebene liegen, lässt sich aus den 3 Punkten die Ebene in Parameterform aufspannen. Es ist dann nur noch zu prüfen, ob der 4. Punkt ebenfalls in der Ebene liegt.

Ebene aus

A, B

und

C :

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot ((\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})) + s \cdot ((\begin{matrix} 9 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

. .

. dieses überbestimmte GLS ist nicht lösbar, wie man einfach prüfen kann.

mit

s = 1

(erhält man aus den beiden letzten Zeilen des GLS) erhält man:

r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})

mit

r = 2,5

müsste der Vektor von

(\begin{matrix} - 12 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})

auf

(\begin{matrix} - 7,5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})

angepast werden und damit:

2,5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{9}{2} \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Dies wäre dann die Anpassung einer Koordinate von D.

;-)

Ginso aktiv_icon

14:22 Uhr, 18.03.2015

@ Eddi, er hat ja alle 4 Punkte überprüft: Er hat von A zu jedem anderen Punkt n Vektor genommen, dann das Kreuzprodukt von zweien dieser Vektoren genommen und getestet, ob es orthogonal zum 3. ist. Wenn alle 4 Punkte in einer Ebene wären, dann wäre das der Fall.

robocop aktiv_icon

14:27 Uhr, 18.03.2015

irgendwie wurden die Punkte doppelt gepostet und falsch eingegeben hab ich sie auch noch!!

also die Lösung soll sein mit der x1-Koordinate vom Punkt

D = 1,5 D = (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

ich rechne nochmal und poste meine lösungen !

Ginso aktiv_icon

14:37 Uhr, 18.03.2015

Dann kann es gut sein, dass deine Lösung auch richtig ist. Du hast einfach eine andere Koordinate verändert. Poste sie einfach mal.

Edddi aktiv_icon

14:41 Uhr, 18.03.2015

. .

. muss meinen Beitrag, letzte Zeile, nochmal korrigieren. Hatte einen Kopierfehler drin (hab' vergessen den Stützpunkt mit zu rechnen).

Für

s = 1

und

r = 2,5

ergibt sich natürlich:

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + 2,5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

Dies deckt sich dann auch mit deinem Ergebnis.

;-)

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