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Punkte A,B,C,D und S bilden eine Pyramide

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Koordinatenform, Mormalenform, Normalenvektor, orthogonalität, Pyramide, Skalarprodukt, Vektor, Vektorrechnung

Rova90 aktiv_icon

23:41 Uhr, 30.11.2010

Gegeben sind die Punkte

A (6; 4; 0), B (1; 4; 0), C (1; 0; 3), D (6; 0; 3)

und

S (3,5; 5; 5,5)

Zeige, dass die Punkte

A, B, C, D

und

S

eine Pyramide mit der quadratischen Gleichung ABCD bilden.

Wie gehe ich da vor? Muss ich die Punkte in ein

3 - D

Koordinatenssystem zeichnen oder löst man die Aufgabe anders?? und Wie???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung

BeeGee aktiv_icon

08:43 Uhr, 01.12.2010

Hallo!

Ich nehme an, dass es in der Aufgabe nicht "quadratische Gleichung", sondern "quadratische Grundfläche" heißt :-).

Für ein Quadrat ABCD musst Du zeigen, dass die gegenüberliegenden Vektoren gleich sind, dass alle vier Seiten gleich lang sind und dass die Vektoren an den Ecken senkrecht aufeinander stehen (also deren Skalarprodukt = 0 ist). In Formeln ausgedrückt ist also nachzuweisen:

$\vec{A B} = \vec{D C}; \vec{B D} = \vec{A D}; \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0; | \vec{A B} | = | \vec{B C} | = | \vec{D C} | = | \vec{A D} |$

Damit jetzt mit der Spitze S eine Pyramide daraus wird, musst Du noch nachweisen, dass S nicht in der durch ABCD definierten Ebene liegt. D.h. Du stellst die Ebenengleichung in Koordinatenform auf (beispielsweise Normalenvektor über das Kreuzprodukt der Vektoren AB und AD bestimmen und Punktprobe für A zur Bestimmung des Parameters k). Eine Punktprobe für S muss anschließend einen Widerspruch ergeben:

$\vec{n} = (\begin{matrix} \begin{matrix} n_{1} \\ {\begin{matrix} n \end{matrix}}_{2} \end{matrix} \\ n_{3} \end{matrix}) = \vec{A B} \times \vec{A D}; E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} - k = 0$

Okay?

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