Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Punkte mit waagrechter Tangentialebene bestimmen

Punkte mit waagrechter Tangentialebene bestimmen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: e-Funktion, eben, Partielle Differentialgleichungen, Punkt, waagerechte Tangente

Culinaris aktiv_icon

16:09 Uhr, 08.07.2015

Gegeben sei die Funktion

f (x, y) = e^{\frac{x}{y}} \cdot (x + y^{2})

Aufgabenstellung siehe Foto.

Kann mir dabei jemand bitte helfen ?

Liebe grüße
Culinaris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Culinaris aktiv_icon

10:12 Uhr, 09.07.2015

Zur Aufgabe

a)

Partielle Ableitungen 1. Ordnung:
fx(x,y)=

\frac{1}{y} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot (x + y^{2}) + e^{\frac{x}{y}}

fy(x,y)=

- \frac{x}{y^{2}} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot (x + y^{2}) + e^{\frac{x}{y}} \cdot 2 y

Zur Aufgabe

b)

Tangentialebene im Punkt

P (0,1)

f (0,1) = e^{\frac{0}{1}} \cdot (0 + 1^{2}) = 1

fx(0,1)=

\frac{1}{1} \cdot e^{\frac{0}{1}} \cdot (0 + 1^{2}) + e^{\frac{0}{1}} = 2

fy(0,1)=

- \frac{0}{1^{2}} \cdot e^{\frac{0}{1}} \cdot (0 + 1^{2}) + e^{\frac{0}{1}} \cdot 2 \cdot 1 = 2

z = 2 x + 2 y - 1

Zur Aufgabe

c)

Steilster Anstieg im Punkt

(0,1)

grad

f (x, y) =

(fx(x,y); fy(x,y))
grad

f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot (x + y^{2}) + e^{\frac{x}{y}} \cdot 2 y

(fx fällt weg, da

x = 0

oder ?)

Zur Aufgabe

d)

Voraussetzung ist fx(x,y)

= 0

und fy(x,y)

= 0,

aber da komme ich leider nicht weiter....

Ich hoffe, dass es soweit passt und bitte um weiter Hilfe für die Aufgaben

d), e)

und

f)

.
Danke im Voraus.
Culinaris

DerDepp aktiv_icon

11:49 Uhr, 09.07.2015

Hossa :-)

Zu Teil (c):

Wenn du die Ebenen-Gleichung in der Form

(\binom{2}{2}) \cdot (\binom{x}{y}) - 1

schreibst, erkennst du ein Skalarprodukt. Bei vorgegebener Länge des Vektors

(\binom{x}{y})

ist dieses Skalarprodukt maximal, wenn

(\binom{x}{y})

parallel zu

(\binom{2}{2})

ist. Die Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt (0,1) ist also:

\frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{1}{1})

Zu Teil (d):

Beide partiellen Ableitungen müssen zugleich 0 sein:

0 \overset{!}{=} f_{x} (x, y) = \underset{> 0}{\underset{⎵}{e^{x / y}}} \cdot (\frac{x}{y} + y + 1) \Rightarrow x + y^{2} + y \overset{!}{=} 0

0 \overset{!}{=} f_{y} (x, y) = \underset{> 0}{\underset{⎵}{e^{x / y}}} \cdot (- \frac{x^{2}}{y^{2}} - x + 2 y) \Rightarrow x^{2} + x y^{2} - 2 y^{3} \overset{!}{=} 0

Aus der ersten Forderung gewinnt man:

x = - y^{2} - y = - y (y + 1)

und setzt das in die zweite Forderung ein:

0 \overset{!}{=} \underset{= x^{2}}{\underset{⎵}{y^{2} (y + 1)^{2}}} \underset{= x}{\underset{⎵}{- y (y + 1)}} \cdot y^{2} - 2 y^{3} = y^{2} (y^{2} + 2 y + 1) - y^{3} (y + 1) - 2 y^{3} = y^{2} - y^{3} = y^{2} (1 - y) \Rightarrow y = 0 \lor y = 1

Diese beiden y-Werte in die erste Forderung

x = - y (y + 1)

eingesetzt, liefert die beiden möglichen Extremstellen:

E_{1} (0; 0); E_{2} (- 2; 1)

Teil (e) und (f) sind nun noch Fleißarbeit mit den beiden Kandidaten

E_{1}

und

E_{2}

...

Culinaris aktiv_icon

17:04 Uhr, 10.07.2015

Hallo,

erstmal vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast und mir hilfst :-)
Ich würde dich noch bitten, dass du die partiellen Ableitungen 2.Ordnung überprüfst. Bin mir da sehr unsicher

: - S

Vieeeeeellleeen Dank schonmal :-D)

f x x (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot (x + y^{2}) + \frac{1}{y} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot 1 + e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y}

f y y (x, y) = (e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) + e^{\frac{x}{y}} \cdot (2 x \cdot y^{- 3}) \cdot (x + y^{2}))) + (e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) \cdot 2 y)

+ e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) \cdot 2 y + e^{\frac{x}{y}} \cdot 2

f x y (x, y) = (- \frac{1}{y^{2}} \cdot e^{\frac{x}{y}} + \frac{1}{y} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) \cdot (x + y^{2}) + (\frac{1}{y} \cdot e^{\frac{x}{y}} \cdot 2 y)

f y x (x, y) = (e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) + e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{1}{y^{2}})) \cdot (x + y^{2}) + e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y^{2}}) \cdot 1

ledum aktiv_icon

01:11 Uhr, 11.07.2015

Hallo
die Fkt. ist doch in

y = 0

gar nicht definiert, in deiner Rechnung wurde mit

y

multipliziert!
Gruss ledum

Culinaris aktiv_icon

12:50 Uhr, 11.07.2015

Hallo Ledum,
ich verstehe leider nicht ganz was du meinst

: - S

Culinaris aktiv_icon

13:58 Uhr, 11.07.2015

Habe jetzt nochmal die partiellen Ableitungen gemacht und bin auf diese gekommen:

f x x (x, y) = (\frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + 1) \cdot e^{\frac{x}{y}}

f y y (x, y) = (\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{3}}{y^{4}} + 2 - 2 \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{y^{2}}) \cdot e^{\frac{x}{y}}

f x y (x, y) = (\frac{- 2 x}{y^{2}} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + 1 - x) \cdot e^{\frac{x}{y}}

f y x (x, y) = (- \frac{2 x}{y^{2}} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + 1 - \frac{x}{y}) \cdot e^{\frac{x}{y}}

Ich hoffe, dass sie diesmal richtig sind. Wäre euch sehr dankbar :-D)

ledum aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.07.2015

Hallo

y

steht im Nenner. Division durch 0 ist nicht definiert, also

f (x, y)

fuer

y = 0

nicht definiert.
so sieht deine flaeche in der Naehe von

(0,0)

aus
Gruss ledum

Roman-22

16:00 Uhr, 11.07.2015

>

Habe jetzt nochmal die partiellen Ableitungen gemacht und bin auf diese gekommen:

1)

Fehler bei

f_{y y} (x, y) :

da fehlt am Anfang in der Klammer eine

2,

also

(2 \frac{x^{2}}{y^{3}} + ...)

2)

Fehler bei

f_{x y} (x, y) :

Es muss doch

f_{x y} = f_{y x}

gelten. Anstelle von

x

gehört da also in der Klammer am Ende ein

\frac{x}{y}

.

Eine Anmerkung noch zu Aufgabe

c)

(steilster Anstieg in

(0 | 1 | 1))

Dieser stellt sich in Richtung

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

ein und beträgt

\sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}

.

Gruß

R

EDIT: Worauf ledum dich vermutlich die ganze Zeit aufmerksam machen wollte ist, dass 0 nicht in der Definitionsmenge für

y

liegt und der von DerDepp angegeben Punkt

E_{1} (0 | 0)

daher keine kritische Stelle ist, die untersucht werden muss.
Übrig bleibt daher nur

E (- 2 | 1)

und für diese Stelle ist die Determinante der Hesse-Matrix gleich

e^{- 4} > 0

und die zweiten partiellen Ableitungen

f_{\times}

und f_yy sind an dieser Stelle positiv

(e^{- 2}

bzw

10 \cdot e^{- 2})

Culinaris aktiv_icon

16:07 Uhr, 11.07.2015

Vielen Dank :-)

Noch ne frage zur

c)

. Kann das bei dir nicht nachvollziehen wie du drauf kommst ???

Liebe Grüße
Culinaris

Roman-22

16:19 Uhr, 11.07.2015

Der größte Anstieg stellt sich in der Projektion des Normalvektors

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

in z-Richtung auf die Fläche

Φ

bzw. die Tangentialebene

τ

im Punkt

(2 | 2 | 1)

ein und dieser extremale Anstieg ist der negative Kehrwert des Anstiegs von

\vec{n}

. Dieser ist

\frac{- 1}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}} = - \frac{1}{\sqrt{8}},

weswegen der gesuchte Anstieg

\sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2}

ist.

Culinaris aktiv_icon

18:14 Uhr, 11.07.2015

Der steilste Anstieg wird durch die Länge beschrieben. Das hab ich jetzt verstanden, aber ich verstehe nicht wie ich auf die Richtung komme...?

: S

Roman-22

23:11 Uhr, 11.07.2015

>

Der steilste Anstieg wird durch die Länge beschrieben.
??? Keine Ahnung, was du damit meinst.

Wenn wir vom Anstieg sprechen, so ist die z-Richtung als "Höhe" unter den drei Hauptrichtungen also ausgezeichnet.
Betrachten wir die Situation aus der Vogelperspektive, also den Grundriss.
Der Normalvektor

\vec{n}

hat die x-Komponente 2 und die y-Komponente 2. Die z-Komponente ist

- 1,

aber das sehen wir von oben ja nicht. Betrachten wir jenen Repräsentanten von

\vec{n},

der im Flächenpunkt

P

angreift. Der Vektor in der Tangentialebene (genauer gesagt, sein Repräsentant, der in

P

"beginnt") der den größten Anstieg hat, sieht im Grundriss genau so aus wie

\vec{n}

. Also

x -

und y-Komponente 2. Nur die von oben nicht erkennbare z-Kompenente ist unterschiedlich. Wie groß ist diese also?
Da die beiden Vektor zueinander normal stehen, muss ihr Skalarprodukt Null ergeben.
Also ist

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = 0,

woraus unmittelbar

z_{m} = 8

folgt.
Damit haben wir bereits die Raumrichtung mit dem größten Anstieg und ob wir nun

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

angeben, beide Vektoren geben die gleiche Richtung an.

R

P . S . :

In meiner Antwort von

16 : 19

Uhr gehört "P(2|2|1)" ersetzt durch "P(0|1|1)".

Culinaris aktiv_icon

13:50 Uhr, 12.07.2015

Hi Roman,

Ich habe das mit dem Gradienten

\nabla f (0,1) = (2; 2)

versucht und

| \vec{r} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}

komme auf

\sqrt{8}

bzw.

2 \sqrt{2}

. Das ist dann mein steilster Anstieg oder ?

\frac{1}{| \vec{r} |} \cdot \vec{r} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot (2; 2) = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})

Zum Schluss befülle ich einfach die Formel

\nabla f (0,1) \cdot \vec{r} \to (2; 2) \cdot (2; 2) = 8

und komme dann somit auf die Richtung

(2,2,8)

bzw.

(1,1,4)

Kann man das so machen ?
Grüße Culinaris

Culinaris aktiv_icon

14:33 Uhr, 12.07.2015

Wenn ich jetzt die Lokalen Extrema bzw Sattelpunkte bestimme, indem ich meine partiellen Ableitungen 2. Ordnung in die Hesse-Matrix einsetze, dann wird das doch ziemlich unübersichtlich und sehr lang.... kann ich das irgendwie vereinfachen oder kürzen ?

Grüße Culinaris

Roman-22

17:57 Uhr, 12.07.2015

Die zweiten partiellen Ableitungen hast du ja schon und die Hesse-Matrix interessiert doch nur an der Stelle

(- 2 | 1)

Culinaris aktiv_icon

18:59 Uhr, 12.07.2015

det H (P (- 2, 1)) = e^{- 2} \cdot 2 e^{- 2} - {(3 e^{- 2})}^{2}

det H (P (- 2, 1)) = 2 e^{- 2} - 9 e^{- 4} > 0

\Rightarrow f x x (- 2,1) = e^{- 2} > 0 \Rightarrow

lokales Minimum

Ist das richtig so ?

Roman-22

19:29 Uhr, 12.07.2015

>

Ist das richtig so ?
Die letzte Zeile, ja. Aber die Determinante der Hessematrix ist falsch.

f_{y y} (- 2; 1)

ist nicht

2 \cdot e^{- 2},

sondern

10 \cdot e^{- 2}

und außerdem ist

e^{- 2} \cdot 2 \cdot e^{- 2} \neq 2 \cdot e^{- 2}

. Das wäre

2 \cdot e^{- 4}!

R

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1246175

1245547

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?