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Punkte/Vektoren im Koordinatensystem-Abstand/Punkt
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Abstand, Koordinaten, Punkt, q?
 
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Hallo Leute, ich weiß grad' gar nicht weiter. Wir sind vor kurzem mit den Vektoren angefangen, und hier die Aufgabe: Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte und die von A jeweils den Abstand haben. Gegeben ist und Nicht gegeben ist eine Geradengleichung oder ähnliches. Nur eine Abbildung. Und ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe beginnen soll. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar! :-)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Gerade Ebene Geometrie - Einführung Grundbegriffe der ebenen Geometrie |
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Da gibt es viele Möglichkeiten um das zu lösen. Eine recht elementare Möglichkeit wäre: Bestimme die Punkte auf der Geraden durch O(0|0|0) und A(1|2|-2), die von A denselben Abstand d=9 haben. Es muss also |AR|=9 gelten wobei R(k|2k|-2k) ein allgemeiner Punkt auf der Geraden ist. |AR| ist der Betrag des Vektors AR, also die Länge des Vektors AR. Dafür gibt es eine Formel, der Rest ist nur noch nach k auflösen. Es wird 2 Lösungen für k gegen, eingesetzt in R liefert das dann die beiden gesuchten Punkte P und Q. |
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Entschuldige, aber ich bin nicht so ein Matheass und hänge da grad ein bisschen durch; ich muss aber die Aufgabe vorstellen und deswegen auch verstehen.
Wie kommst du auf ? Und warum ist ? Ist das mit der PQ-Formel gelöst? |
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O ist der Ursprung. R ist wie gesagt ein Punkt auf der Geraden durch O und A, denn die Gerade durch O und A hat die Form g:x=(0;0;0)+k*(1;2;-2) |
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Wie soll ich denn |AR| berechnen? Mit der Abstandsformel geht das irgendwie nicht. Ach man, ich verzweifle Und wie soll ich nachk auflösen? Was muss ich denn gleichsetzen? |
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Du hast doch zwei Punkte, nämlich A und R. Daraus machst du jetzt einen Vektor wie immer. Und von diesem Vektor dann den Betrag mit der entsprechenden "Pythagorasformel" Dass da jetzt mal ein k dabei ist ändert nichts an der Vorgehensweise. |AR|=9 <=> wurzel( [k-1]²+[2k-2]²+[-2k-(-2)]² ) =9 |
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Tut mir leid, wenn ich zu doof dafür bin. Aber wieso soll ich denn den Vektor AR ausrechnen, wenn ich doch weiß, dass da 9 rauskommen soll/muss? Tut mir wirklich leid - aber kannst du mir vielleicht mal Schritt für Schritt die Vorgehensweise erklären? Ach man, ich bin da einfach zu doof für :-D) |
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Du brauchst dich für nichts zu entschuldigen bzw dir muss hier nichts unangenehm sein ;-) Das ist ja gerade das Gute, dass man weiss, dass die Länge des Vektors AR 9 ergeben muss. Aber was man nicht weiss ist WO genau der Punkt R auf der Geraden liegt. Deswegen hat man da ja überall noch eine Unbekannte, also k, drin. Der Abstand selbst ist also gegeben, aber der passende Punkt auf der Geraden nicht. Oft ist es andersrum, dass der Abstand zweier Punkte gegeben ist aber hier ist mal die andere Variante. Ist es jetzt klarer bzw ist dir auch klar wie man auf die obige Wurzelgleichung kommt ? |
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Ok danke;-) Ja also die Gleichung ist mir einigermaßen klar, die haben wir auch in der Schule schon angesprochen. Wenn ich die auf auflöse, kommt bei mir 0=k² raus. Das kann ja aber nicht sein oder? Also mir sagt das nichts. |
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Ich komme auf k²-2k-8=0 Denk dran dass du die Gleichung quadrieren musst um die Wurzel weg zu kriegen. Wie sieht denn dein Rechenweg aus bzw was steht bei dir unter der Wurzel wenn du die Klammern alle auflöst ? |
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Ich habs nochmal nachgerechnet, hab das Ergebnis jetzt auch raus. Ich habs am Ende nicht quadriert, hab die Wurzel ignoriert. Aber was sagt mir das Ergebnis jetzt? Also das soll da der Punkt sein, aber wie kriege ich dann 2 Lösungen? PQ-Formel? |
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Ich habe doch nicht genau das Ergebnis, ich habe -2k+k² und nicht Bei mir steht unter der Wurzel, nachdem ich ausgeklammert habe: wurzel((k²-2k)+(2k²-4k*(-2))-(2k²-4k*2+4)), nach dem Wegkürzen sieht das dann so bei mir aus: wurzel((k²-2k+4)) Kannst du meinen Fehler erkennen? Und kannst du mir sagen, was ich mit dem Ergebnis jetzt anfangen kann? Weil 0=k²-2k-5 (oder ist ja kein Ergebnis für die Aufgabe. Du sagtest am Anfang, für einsetzen, dann kriege ich 2 Ergebnisse? Das verstehe ich nicht. |
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Bevor du in R einsetzen kannst musst du die quadratische Gleichung erstmal nach k auflösen. wurzel( [k-1]²+[2k-2]²+[-2k-(-2)]² ) =9 wurzel (k²-2k+1+4k²-8k+4+4k²-8k+4)=9 wurzel (9k²-18k+9) =9 Jetzt beide Seiten quadrieren: 9k²-18k+9=81 <=> k²-2k-8=0 |
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9k²-18k+9=81 k²-2k-8=0
wieso entspricht das denn einander?! Wenn ich dann nach auflöse, sieht das doch so aus: 8=k²-2k (Wurzel ziehen) wurzel(8)=k-2k, wurzel(8)= also -wurzel(8) ? |
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Ich hab nur alles durch 9 geteilt und auf die linke Seite gebracht. Um quadratische Gleichungen zu lösen brauchst du z.B. quadratische Ergänzung oder die pq Formel. Rauskommen sollte k=-2 oder k=4 |
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ach ok, schon verstanden :-) DANKE! |
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Obwohl ne, noch nicht ganz :-D) Du sagst da muss 4 und rauskommen?
Mit der PQ-Formel sieht das aber so aus: wurzel((-2)/2²8) und das wäre wurzel(7.5) und da kämen kuddelige Zahlen raus |
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hab jetzt nicht alles durchgelesen... es geht aber um oder? dann ist und einsetzen in die pq formel ergibt lg |
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OK danke, verstanden :-) Dann hab ich nur mal ne Frage, wie ich das in den Taschenrechner eingeben soll:
geteilt durch hoch 2 Egal, wo ich Klammern setze, kommt bei mir und nicht 1 raus, außer ich rechne erst und dann erst ² Geht das auch anders? |
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versuch mal "(-2:2)^2" |
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Oh, so einfach hab ich gar nicht gedacht :-) Danke!
So, jetzt hab ich eigentlich nur nocheine Frage... Warum hat der Punkt den ich hier suche, die Form ? |
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so.. jetzt musste ich mir doch nochmal alles durchlesen ;-) also dir ist ja der Punkt gegeben. diesen punkt kannst du auch als vektor interpretieren also das ist jetzt ein pfeil der vom ursprung auf den Punkt A zeigt. wenn man diesen Pfeil laenger oder kuerzer machen will, so muss man das ganze einfach mit einer Zahl multiplizieren. diese beliebige zahl habt ihr genannt. also und ihr habt nun das eben so "eingestellt", dass der pfeil auf ein und zeigt, die jeweils um 9 von A entfernt liegen. lg |
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WOW, ich hab hier echt mehr verstanden als in den letzten 5 Doppelstunden im Grundkurs! DANKE dafür :-) Ich denke, ich werde das Forum jetzt öfter in Anspruch nehmen :-) |
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