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Punktmengen (innere,äußere,Rand,-punkte)

Universität / Fachhochschule

Tags: Punktmengen

schalkeboy aktiv_icon

18:43 Uhr, 02.12.2015

Für

a \in ℝ^{n}

und

r >

heßt

U_{r} (a) := | | x - a | | < r}

die r-Umgebung von

a

.

Wir haben jetzt folgendes definiert:

M \subset ℝ^{n}

ist gegeben

a) a \in ℝ^{n}

heißt innere Punkt von

M,

falls

r > 0

existiert mit

U_{r} (a) \subset M

b) a \in ℝ^{n}

heißt äußerer Punkt von

M,

falls

r > 0

existiert mit

U_{r} (a) \subset M^{c}

(\Leftrightarrow a

ist innerer Punkt von

M^{c})

c) a \in ℝ^{n}

heißt Randpunkt von

M,

falls a weder innerer noch äßerer Punkt von

M

ist,

(\Leftrightarrow

für alle

r > 0

gilt:

U_{r} (a)

enthält sowohl punkte aus

M

auch als

M^{c})

Nun weiß ich nicht wie ich die Definition in diesem Beispiel anwenden kann. Ich soll hier den inneren,äußeren und Randpunkt von

M

bestimmen.
Übrigens was ist überhaupt

M^{c}

?

Beispiel:

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \in ℝ^{2} : 1 \leq x^{2} + y^{2} < 4}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 02.12.2015

Hallo

M^{C}

ist da Komplement von

M

also

R^{n}

ohne M.
zeichne dir doch mal die Menge auf indem du die Ränder aufzeichnest . Ränder bei =
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

19:20 Uhr, 02.12.2015

Ich hab mir die Menge mal aufgezeichnet. (Siehe Bild) Mit 2 Kreisen . Die Menge liegt in der Grünen Fläche, der Umfang vom inneren Kreis gehört auch zur Menge.

Umfang vom großen Kreis gehört nicht zur Menge.

wie erkenn ich jetzt den innere,äuperen und randpunkt von M?

ledum aktiv_icon

19:31 Uhr, 02.12.2015

Hallo
die inneren Punkte hast du grün gemalt die äußeren ist dann wohl klar. die schwarzen Linien sind der Rand. nur musst du das noch mit den Definitionen begründen.
Gruss ledum

schalkeboy aktiv_icon

19:42 Uhr, 02.12.2015

innerer Punkt

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) : 1 < x^{2} + y^{2} < 4}

äußerer Punkt

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) x^{2} + y^{2} < 1

oder

x^{2} + y^{2} > 4}

Rand

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) x^{2} + y^{2} = 4

oder

x^{2} + y^{2} = 1}

Ich denke so passt es oder?

Laut Definition ist der Inerer Punkt von

M,

falls

r > 0

existiert mit

U_{r} (a) \subset M

wie begründ ich jetzt den inneren Punkt

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) : 1 < x^{2} + y^{2} < 4}

mit der Definition?

schalkeboy aktiv_icon

20:34 Uhr, 02.12.2015

Ich denke die Beispiel Aufgabe müsste so passen.
Wie sieht es bei diesen beiden Aufgabe aus.

1) M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) : x \geq y^{2}

und

y > 2 x - 3}

Da hab ich jetzt auch einfach mal gezeichnet, die grüne Fläche ist wieder die Menge. der blaue rand gehört auch dazu. (Siehe Bild)

inner Punkt von

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) : x > y^{2}

und

y > 2 x - 3}

äßerer Punkt von

M

ist jetzt die Fläche wo nicht grün ist, wie soll ich das beschreiben?
Die differenz der Beiden Funktionen?

Rand von

M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) : x = y^{2}

und

y = 2 x - 3}

Aufgabe

2)

M = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} 0 \leq z \leq x^{2} + y^{2}} \cup {(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})}

hier wird es ja schwierig mit der Zeichnung, wegen

ℝ^{3},

wie soll ich die Punkte hier bestimmen?

ledum aktiv_icon

23:01 Uhr, 02.12.2015

Hallo
die grüne Fläche ist falsch rechts nur die Punkte innerhalb der Parabel.
die Punkte nin

M^{C}

die Ungleichung für die inneren Punkt umkehren.
für 3 zeichne dir den Schnitt mit der

x - z

Ebene bzw

y - z

ebene das ist eine

P

arabel,

z

liegt unterhalb, dann lässt du die Parabel um die

y

Achse rotieren, und hast ein Rotations- Paraboloid. aber sehen kann man fast alles schon in dem _schnitt.
Im übrigen einfach wieder mit den Ungleichungen argumentieren. (der iisolierte Punkt ist Randpunkt.)
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

17:23 Uhr, 03.12.2015

dankeschön.

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