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Punktweise, gleichmässige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

student11 aktiv_icon

15:26 Uhr, 16.07.2012

Hallo zusammen

Ich glaube eigentlich, das Prinzip von punktweiser vs. gleichmässiger Konvergenz verstanden zu haben..

bei punktweiser Konvergenz geht es ja darum, dass ich für jedes

x,

wenn ich dieses

x

festlege, eine Grenzfunktion finden kann. Das kann ich tun, indem ich das

x

als Konstante betrachte und den Grenzwert bilde und je nachdem etwaige Spezialfälle beachte (im Prinzip aber jedes

x

einsetze und dann den Grenzwert bilde).

Z . B

x^{n}

für

x \in [0,1] f (x) = 0

für

x < 1

und 1 für

x = 1

Bei gleichmässiger Konvergenz geht es ja dann darum, dass ich nicht nur für ein bestimmtes

x

sondern für alle

x

eine "gleiche" Grenzwertfunktion finde.. Da muss oft der Definitionsbereich beachtet werden, denn beispielsweise ist

\frac{x}{n}

auf

x \in [0,1]

gleichmässig konvergent, auf ganz

R

jedoch nicht, da ich das

x

so beliebig gross wählen könnte, dass dieses

x

grösser wäre als

n

und somit wäre der Bruch nicht mehr konvergent...

Soweit richtig?

Für einfache Beispiele klappt das auch und es ergibt für mich Sinn. Dennoch gibt es einige Standardaufgaben, bei denen die Funktion intervallweise definiert ist und zwar mit den Intervallgrössen abhängig von

n

. Da bin ich dann jeweils verwirrt..

Einfachstes Beispiel:

f_{n} (x) = {0

für

x \leq n, 1

für

x > n

auf ganz

R .

.
Ich weiss noch nicht mal, wie ich hier vorgehen sollte für die punktweise Konvergenz.. Denn wenn ich ja ein

x

festlege, dann ist dies nie grösser als ein

n,

das gegen

\infty

strebt..

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Noch schwieriger finde ich folgende Aufgabe:

f_{n} (x) =

2nx für

0 < = x < \frac{1}{2 \cdot n}; 2 - 2 n \cdot x

für

\frac{1}{2 \cdot n} \leq x < \frac{1}{n}; 0

für

\frac{1}{n} \leq x \leq 1

Ich verstehe da einfach nicht genau, wie ich mit den Intervallgrenzen umgehen sollte. ?

Vielen Dank für eure Hilfe..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

16:17 Uhr, 16.07.2012

f_{n} (x) = {\begin{array}{cc} 0 für & x \leq n \\ 1 für & x > n \end{array}

mit

D = ℝ

Vielleicht hilft dir an dieser Stelle ein Beispiel:

f_{n} (5) = {\begin{array}{cc} 0 für & 5 \leq n \\ 1 für & 5 > n \end{array}

also

f_{1} = 1, f_{2} = 1, f_{3} = 1, f_{4} = 1, f_{5} = 0, f_{6} = 0, \dots

f_{5}

sind hier also alle Folgenglieder gleich null. Gegen was wird

(f_{n} (5))_{n \in ℕ}

dann wohl konvergieren?

student11 aktiv_icon

16:22 Uhr, 16.07.2012

Also ist

f (x) = 0

die Grenzfunktion.. ?

Es ist jedoch nicht gleichmässig stetig, da:

supremum

| f (x) - 0 | \to 1,

nämlich wenn man ein

x

wählt, das grösser ist als

n .

Shipwater aktiv_icon

16:25 Uhr, 16.07.2012

Ganz genau. (du meinst aber

s u p {f_{n} (x) : x \in ℝ}

anstatt

s u p {f (x) : x \in ℝ})

student11 aktiv_icon

16:35 Uhr, 16.07.2012

Ok..

Ich versuche mich nun mal an der schwierigeren Aufgabe:

x \in [0,1]

also für

x = 0,

ist ja

f_{n} (0) = 2 n \cdot 0 =

?? Das ist ja im Prinzip: "

\infty \cdot 0

",da

n

nicht begrenzt ist, darf ich hier ja nicht direkt annehmen, dass dies eine Nullfolge ist?

sei nun

x = 1

f (1) = 0

. Problemlos :-)

0 < x < 1 :

Das Problem ist hier nun, dass ich kaum ein

x

annehmen kann, sodass dies im Intervall liegt, denn für

n \to \infty

wird das mittlere Intervall immer kleiner..

Spontan würde ich jetzt sagen wieder punktweise konvergent gegen

f (x) = 0

.

Gleichmässig stetig? phuu.. Nun kann das

x

ja nicht grösser als

n

gewählt werden,

x

ist in

[0,1] .

. Anbieten würden sich wieder Extremfälle also

x = 0

oder

x = 1,

bei

x = 1

sollte aber eigentlich kein Problem vorliegen..

Ach ich weiss noch nciht mal, ob ich die richtige Grenzfunktion gewählt habe..

: (

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17:03 Uhr, 16.07.2012

f_{n} (x) = {\begin{array}{cc} 2 n x für & 0 \leq x < \frac{1}{2 n} \\ 2 - 2 n x für & \frac{1}{2 n} \leq x < \frac{1}{n} \\ 0 für & \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{array}

mit

D = [0, 1]

Auch hier wieder ein Beispiel:

f_{n} (\frac{1}{2}) = {\begin{array}{cc} n für & 0 \leq \frac{1}{2} < \frac{1}{2 n} \\ 2 - n für & \frac{1}{2 n} \leq \frac{1}{2} < \frac{1}{n} \\ 0 für & \frac{1}{n} \leq \frac{1}{2} \leq 1 \end{array}

also

f_{1} = 1, f_{2} = 0, f_{3} = 0, f_{4} = 0, \dots

Also das geht offensichtlich gegen null. Für jedes

0 < x \leq 1

ist das ähnlich da für genügend große

n

nur noch

\frac{1}{n} \leq x \leq 1

gilt. Den Fall für

x = 0

hattest du dir ja schon selbst überlegt. Natürlich ist dann

2 n x = 0

wenn

x

wirklich

0

ist. Grenzfunktion ist also erneut

f (x) = 0

student11 aktiv_icon

17:22 Uhr, 16.07.2012

Und bezüglich gleichmässiger Konvergenz?? Was muss ich da beachten?

Shipwater aktiv_icon

17:37 Uhr, 16.07.2012

Natürlich liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Überlegung geht ähnlich wie eben.

student11 aktiv_icon

18:29 Uhr, 16.07.2012

Hmm.. Also ich sehe das Problem glaube ich irgendwie nicht..

: (

Wenn

x = 0

ist, dann ist

f_{n} (0) = 0 \to

kein Problem

Wenn

x = 1

ist, dann ist

f_{n} (1) = 0 \to

kein Problem??

Also müsste das Problem irgendwo dazwischen liegen?? Oder sehe ich da was falsch..

[

Vorher war mir das irgenwie klar, weil wir schon viele solche Beispiele hatten mit

x \to \infty,

aber wenn

x

in einem abgeschlossenen Intervall liegt,..?

Shipwater aktiv_icon

18:47 Uhr, 16.07.2012

Du musst zwischen 0 und 1 suchen. Man kann zum Beispiel ein

x (n) \in [0,1]

mit

| f_{n} (x (n)) | = 1

finden.

student11 aktiv_icon

19:23 Uhr, 16.07.2012

Sorry, dass ich mich so dumm anstelle (respektive ich stelle mich nicht nur so an.. :-)

),

aber irgendwie leuchtet mir das nicht ein, wie ich ein solches

x

finden sollte..

Denn alles was ich sehe, wenn ich versuche, ein solches

x

zu finden, ist, dass für

n \to \infty

die sich eh alles auf das letzte Intervall reduziert..

: S

Gibt es denn eine "allgemeine Strategie"? Muss man eine Vermutung haben? Ich habe mir die Intervallgrenzen angeschaut, ohne etwas "Verdächtiges" zu finden... ?

Shipwater aktiv_icon

19:46 Uhr, 16.07.2012

Du gibst dir erstmal irgendein

n \in ℕ

vor und suchst dann ganz allgemein ein passendes

x (n) \in [0,1]

so dass zum Beispiel immer

| f_{n} (x (n)) | = 1

gilt. Also du zeigst, dass zu jedem

n \in ℕ

ein

x \in [0,1]

existiert, so dass

| f_{n} (x) | = 1

gilt. Damit kann keine gleichmäßige Konvergenz mehr vorliegen. Denn zu

ε = 1

kann ich somit kein

n_{0} \in ℕ

finden so dass für alle

x \in [0,1]

gilt

| f_{n_{0}} (x) | < 1

. Selbstverständlich kann ich dann auch kein

n_{0} \in ℕ

angeben so dass für alle

n \geq n_{0}

und alle

x \in [0,1]

gilt

| f_{n} (x) | < 1

. Die Definition ist also "verletzt". Deine Aufgabe ist es nun das passende

x (n)

zu finden.

student11 aktiv_icon

19:54 Uhr, 16.07.2012

Dadurch dass ich mich so darauf fixiert habe, dass

x

in einem begrenzten Intervall sein muss und

n \to \infty

gehen soll, habe ich irgendwie gar nicht realisiert, dass ich ja

x (n)

so definieren kann, dass

x

trotzdem in

[0,1]

liegt..

Nach deinen Anweisungen habe ich es mit

x (n) = \frac{1}{2 n}

versucht, denn dann fällt

x

ins zweite Intervall und f(x)=2-2nx

\to f (\frac{1}{2 n}) = 2 - 2 n \cdot \frac{1}{2 n} = 1

Und somit existiert ein bestimmtes

x,

sodass für dieses

x

die Funktionenfolge nicht gegen diese Grenzfunktion konvergiert..

Gibt es denn irgendwelche Möglichkeiten, einer Funktion schnell anzusehen, ob sie gleichmässig stetig ist? Also wenn ich das richtig sehe, sollte ich bei solchen Aufgaben sicherlich immer die Intervallgrenzen mal für

x

einsetzen, gerade auch in Abhäniggkeit von

n

. Sollte dies genügen? Also im Prinzip wenn ich einfach

x = 0, \frac{1}{2 n}, \frac{1}{n}, 1

einsetze und dort keine "Probleme" feststelle, dann werden auch innerhalb der Intervalle keine auftreten?

Aus der Vorlesung weiss ich zudem, dass wenn die Funktionenfolge stetig ist und die Grenzfunktion nicht stetig, so kann die Funktionenfolge nicht gleichmässig konvergieren, denn sonst müsste die Grenzfunktion auch stetig sein. Das ist eigentlich ein Kriterium, das mir bei den einfacheren Fällen immer geholfen hat.. Nur leider für dieses Beispiel hier nicht anwendbar..

Gibt es noch weitere hilfreiche Tipps?

Shipwater aktiv_icon

20:14 Uhr, 16.07.2012

Genau

x (n) = \frac{1}{2 n}

kann man zum Beispiel wählen.
Schau auch mal hier: de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz
Beim Prüfen auf gleichmäßige Konvergenz solltest du erstmal versuchen ein Gefühl für den Ausdruck

| f_{n} (x) - f (x) |

zu bekommen. Kann man diesen nach oben durch eine Nullfolge abschätzen? Falls ja hat man schon gewonnen. Ansonsten setzt man vielleicht einfach mal paar

n \in ℕ

ein und überlegt sich dann welche Werte

| f_{n} (x) - f (x) |

durchläuft, wenn

x D

durchläuft. Damit kommt man dann vielleicht schon auf ein passendes

x (n)

. Später wenn Differentialrechnung bekannt ist, kann man das Supremum bei geeigneten Ausdrücken ja auch einfach ausrechnen.

student11 aktiv_icon

21:13 Uhr, 16.07.2012

Vielen Dank für deine Hilfe..

Für Fälle, in denen es nur "eine Funktion" gibt, also die Funktion nicht intervallweise definiert ist, klappt das gut, mit

| f_{n} (x) - f (x) |

abschätzen, wenn es jedoch mehrere Intervalle gibt, verliere ich sofort den Überblick..

Könnte man denn eventuell auch für obiges Beispiel einfach für jedes Intervall

| f_{n} (x) - f (x) | = | f_{n} (x) |

abschätzen und eventuell als Supremum für

x

dann jeweils die Werte nehmen, die dann auch für die Intervallgrenzen gegeben sind?

also:

0 \leq x < \frac{1}{2 n}

|f_n(x)|=2nx

\leq 2 n \cdot \frac{1}{2 n} = 1

(eigentlich möchte ich ja zeigen, dass es eine Nullfolge ist, mit dieser Aussage habe ich aber nicht gezeigt, dass es keine ist. Denn

\frac{1}{2 n}

wird in diesem Intervall nicht angenommen.. Auf diese Weise hier keine Aussage möglich?
|f_n(x)|=2nx

\geq 0

\frac{1}{2 n} \leq x < \frac{1}{n}

| f_{n} (x) | = | 2 - 2 n \cdot x | \leq | 2 - 2 n \cdot \frac{1}{n} | = 0

| f_{n} (x) | = | 2 - 2 n \cdot x | \geq | 2 - 2 n \cdot \frac{1}{2 n} \mapsto 1

In diesem INtervall also eigentlich ok?

\frac{1}{n} \leq 0 \leq 1

| f_{n} (x) | = 0 \to 0

hier auch ok..

Naja.. die >=-Abschätzung bringt mir nichts, oder, die könnte ich ebenso gut weglassen?

Habe vorhin noch diese Aufgabe zu lösen versucht:

f_{n} (x) = 1 + x^{n} {(1 - x)}^{n}

für

x \in [0,1]

f (x) = 1

| 1 + x^{n} {(1 - x)}^{n} - 1 | = | x^{n} {(1 - x)}^{n} | \leq | 1^{n} \cdot {(1 - 1)}^{n} \mapsto 0

Darf ich das direkt so tun, oder muss ich:

| x^{n} \cdot {(1 - x)}^{n} | = | {(x \cdot (1 - x))}^{n} |

mit

x \cdot (1 - x) \leq \frac{1}{4}

und

{(\frac{1}{4})}^{n} \to 0

Shipwater aktiv_icon

21:37 Uhr, 16.07.2012

Hab grad nicht so viel Zeit, schreib nur nebenbei da ich gerade eine Serie angucke. Die erste Abschätzung ist natürlich Blödsinn denn

{(1 - x)}^{n}

wird nicht für

x = 1

sondern für

x = 0

am größten! Die andere Abschätzung mit

{(\frac{1}{4})}^{n}

sieht ok aus. Mach aber für neue Fragen bitte (generell) einen eigenen Thread auf, sonst wird es zu chaotisch!

student11 aktiv_icon

00:32 Uhr, 17.07.2012

Ich glaube, das Prinzip habe ich jetzt plus-minus verstanden, jetzt muss ich nur noch einige Augaben zu diesem Thema lösen.

Vielen Dank für deine Geduld.. :-)

Shipwater aktiv_icon

10:34 Uhr, 17.07.2012

Keine Ursache.

student11 aktiv_icon

20:02 Uhr, 18.07.2012

Ich glaube, dieses Theme noch immer nicht verstanden zu haben:
Hier ein Beispiel:

f_{n} (x) = {1 -

nx , für

0 \leq x \leq \frac{1}{n}; 0

für

\frac{1}{n} < x \leq 1

für

x = 0

ist

f (x) = f (0) = 1,

für

x \neq 0

ist

f (x) = 0

Ich sehe sofort, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist, da aber die Funktionenfolgenglieder auch nicht stetig sind, lässt dies noch keine Aussage über gleichmässige Konvergenz zu, oder?..

Ich schaue die Intervallgrenzen an und sehe, dass beispielsweise

x = \frac{1}{n} : f_{n} (\frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{n} \cdot n = 0

x = 1 : f (1) = 0

x = 0 : f (0) = 1

Das ist jedoch noch kein problem?

Also schaue ich

x \neq 0

genauer an:

limsup|f(x)-0|=limsup|1/n-0|->0 für

x \neq 0

für

x = 0 :

limsup

| f (x) - 1 | =

limsup|1-nx-1| = limsup|nx|-> 0

Aber jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht, darf ich das?

: S

Weil irgendwie wird ja das Problem gerade eben bei

x \to 0

liegen, wenn es denn eines gibt.

hagman aktiv_icon

20:15 Uhr, 18.07.2012

Die gleichmäßige Konvergenz lässt sich hier unmittelbar aus der Definition verneinen, denn

s u p {| f_{n} (x) - f (x) | : 0 \leq x \leq 1} = 1

für alle

n

student11 aktiv_icon

20:20 Uhr, 18.07.2012

Hmm, wenn ich deine Argumentation jetzt richtig verstehe, dann könnte man aber sofort daraus schliessen, dass in jedem Fall wenn die Grenzfunktion unstetig ist, die FUnktionenfolge nicht gleichmässig konvergieren kann.

Mir ist diese Aussage wie folgt bekannt:
Wenn die Funktionenfolgenglieder alle stetig sind und die Grenzfunktion nicht, dann kann keine gleichmässige Konvergenz vorliegen..

Wenn ich dich jetzt nicht missverstehe, sagst du, dass der erste Teil der Aussage "redundant" ist und man sofort aus Nicht-Stetigkeit der Grenzfunktion auf ' nicht gleichmässige Konvergenz' schliessen kann?

Denn wenn man eine nicht-stetige Grenzfunktion hat, dann hat man ein

x_{1}

für das

f_{n} (x_{1})

gegen a konvergiert und ein

x_{2} \neq x_{1}

für das

f_{n} (x_{2})

gegen

b \neq a

konvergiert. Somit hätte man ja dann aber als Supremum immer

b - a

vorliegen?

Kannst du mir sagen, wo mein Überlegungsfehler liegt?

Shipwater aktiv_icon

20:20 Uhr, 18.07.2012

f_{n} (x) = {\begin{array}{cc} 1 - n x für & 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 für & \frac{1}{n} < x \leq 1 \end{array}

mit

D = [0, 1]

?
Warum sollten die

f_{n}

denn nicht stetig sein?
Und ich wiederhole mich: Mach aber für neue Fragen bitte (generell) einen eigenen Thread auf, sonst wird es zu chaotisch!

Edit: Ups hab gar nicht gemerkt dass inzwischen schon geantwortet wurde...

student11 aktiv_icon

20:30 Uhr, 18.07.2012

Ohjee..

Damit eine Funktion stetig ist, muss gelten:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

Hier, damit die Funktionenglieder stetig sind, also

\forall x_{0} : lim_{n \to \infty} lim_{x \to x_{0}} f_{n} (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{0})

Irgendwie habe ich mich vorher etwas überlegt gehabt, aber das scheint wohl falsch zu sein ;-)

Problemstelle

x_{0} = 0 :

lim_{n \to \infty} lim_{x \to 0} f_{n} (x) = lim_{n \to \infty} lim_{x \to 0} 0 = 0 \neq 1 = f_{n} (0)

student11 aktiv_icon

20:32 Uhr, 18.07.2012

Übrigens noch eine dumme Frage:

die Aufgabe lautet: Konvergiert die Funktionenfolge

. .

. punktweise auf dem Intervall

[0,1]

?

Welche Funktionenfolgen konvergieren denn nicht punktweise? Die, die für

n \to \infty

gegen

\infty

gehen? Aber sonst könnte man ja für jedes

x

beliebig den Wert festlegen, oder?

Shipwater aktiv_icon

20:39 Uhr, 18.07.2012

Woher kommen die

lim_{n \to \infty}

bei deiner Stetigkeitsuntersuchung? Interessant ist ja eigentlich nur die "Übergangsstelle"

\frac{1}{n}

Für alle anderen

x

ist die Stetigkeit ja klar. Und eine Funktionenfolge ist dann nicht punktweise konvergent wenn es ein

x \in D

gibt so dass

f_{n} (x)

nicht konvergiert. :-)

hagman aktiv_icon

20:45 Uhr, 18.07.2012

Ich hatte jetzt gar nicht deine speziellen

f_{n}

angeschaut, sondern auf "da aber die Funktionenfolgenglieder auch nicht stetig sind" vertraut. Denn in der Tat kann man ganz einfache Beispiele angeben bei denen
- die

f_{n}

und

f

unstetig sind und keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt:

f_{n} (x) = 1

für

0 \leq x < \frac{1}{n}, f_{n} (x) = 0

für

x \geq \frac{1}{n}

.
- die

f_{n}

und

f

unstetig sind und gleichmäßige Konvergenz vorliegt:

f_{n} (x) = 1

für rationales

x, f_{n} (x) = 0

für irrationales

x

.
- die

f_{n}

stetig, aber

f

unstetig ist (und demnach keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt):

f_{n} (x) = 1 - n x

für

0 \leq x \leq \frac{1}{n}, f - n (x) = 0

für

x > \frac{1}{n}

- die

f_{n}

unstetig, aber

f

stetig bei gleichmäßiger Konvergenz:

f_{n} (x) = \frac{1}{n}

für rationale

x, f_{n} (x) = 0

für irrationale

x

- die

f_{n}

unstetig, aber

f

stetig bei nicht gleichmäßiger Konvergenz:

f_{n} (x) = 0

für rationale

x, f_{n} (x) = \frac{1}{n x}

für irrationale

x

- die

f_{n}

und

f

stetig, gleichmäßige Konvergenz:

f_{n} (x) = 0

- die

f_{n}

und

f

stetig, keine gleichmäßige Konvergenz:

f_{n} (x) = max {1 - | n x - 1 |, 0}

student11 aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.07.2012

Ok, das

n \to \infty

ist wirklich fehl am Platz - ich untersuche ja die Stetigkeit der Funktionenglieder, und weshalb ich 0 untersuche? Keine Ahnung, ich bin verwirrt :-D)

Also interessant wäre ja

lim_{x \to \frac{1}{n}} f (x) = lim_{x \to \frac{1}{n}} 0 = 0 = f (\frac{1}{n}) = 1 - n \cdot \frac{1}{n}

Und somit stetig :-)

Ok alles klar, dann ist einfach gezeigt, dass keine punktweise Konvergenz vorliegen kann.. (glaubt ihr, das genügt als Begründung, oder müsste man hier noch den Beweis liefern, dass der Grenzwert stetig sein müsste, wenn gleiichmässige Konvergenz vorliegt?)

Trotzdem habe ich noch eine Frage zu hagmans Beitrag.
Wenn ich ja eine nicht-stetige Grenzfunktion habe, dann gibt es ja ein

x_{0}

und ein

x_{1},

sodass

f (x_{0}) \neq f (x_{1}),

denn eine konstante Funktion wäre ja stetig..
Nun kann ich ja aber immer

f_{n} (x) - f (x)

so wählen, dass:

f_{n} (x_{1}) - lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{0}),

was dann nie gegen 0 gehen würde??

Shipwater aktiv_icon

09:07 Uhr, 19.07.2012

Punktweise Konvergenz liegt doch vor. Weil alle

f_{n}

stetig sind und

f

nicht stetig ist kann allerdings keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen. Ob du den Satz noch beweisen musst, müsstest du eigentlich selbst am besten wissen. Falls ihr ihn schon besprochen habt, sollte das eigentlich nicht der Fall sein.

student11 aktiv_icon

09:09 Uhr, 19.07.2012

Punktweise schon.. Mein obiges allgemeines Beispiel bezieht sich auf einen allgemeinen Fall, bei dem die Grenzfunktion nicht stetig ist, aber trotzdem gleichmässige Konvergenz vorliegt, also somit die FUnktionenfolgenglieder nicht stetig sind..

Ich verstehe formal gesehen nicht, wie bei nicht stetiger Grenzfunktion überhaupt gliechmässige Konvergenz vorliegen kann.

Shipwater aktiv_icon

09:15 Uhr, 19.07.2012

Dann schau dir doch hagman sein zweites Beispiel an.

student11 aktiv_icon

09:26 Uhr, 19.07.2012

Dieses Beispiel habe ich mir schon angesehen.. Ich kann mir das nur "formal"/allgemein nicht erklären..

"
die

f_{n}

und

f

unstetig sind und gleichmäßige Konvergenz vorliegt:

f_{n} (x) = 1

für rationales

x, f_{n} (x) = 0

für irrationales

x

.
"

Naja, könnte man denn auch ein "normaleres" Beispiel konstruieren, als ein solches, bei dem obige Bedingungen gelten würden? Ich verstehe es für dieses Beispiel, doch wenn man nicht rational/irrational unterscheiden würde sondern

[a, b], [b, c]

würde dies nicht funktionieren, oder?

Shipwater aktiv_icon

09:40 Uhr, 19.07.2012

Du brauchst nur eine konstante Funktionenfolge deren "Funktionsglieder" unstetig sind.
Man kann also sehr wohl auch

f_{n} (x) = {\begin{array}{cc} 1 für & x \geq 0 \\ 0 für & x < 0 \end{array}

mit

D = ℝ

wählen. Für die Grenzfunktion ergibt sich natürlich wieder

f (x) = {\begin{array}{cc} 1 für & x \geq 0 \\ 0 für & x < 0 \end{array}

und somit ist

∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = 0

womit der gleichmäßigen Konvergenz nichts mehr im Wege steht.

student11 aktiv_icon

10:00 Uhr, 19.07.2012

Aber habe ich hier nicht supr

| f_{n} (x) - f (x) | = | 1 - 0 \mapsto 1

Ich dachte Hagman hätte das oben analog bei einem Beispiel so gemacht... Aber da hab ich wohl was falsch verstanden, werde mir das nochmals ansehen.

Shipwater aktiv_icon

10:02 Uhr, 19.07.2012

Es ist

| f_{n} (x) - f (x) | = 0

für alle

n \in ℕ

und für alle

x \in ℝ

student11 aktiv_icon

17:00 Uhr, 20.07.2012

Irgendwie geb ich langsam echt die Hoffnung auf, dass ich das je einmal verstehen werde..

: (

f_{n} (x) = {1 -

nx für

0 \leq x \leq \frac{1}{n}; 0

für

\frac{1}{n} < x \leq 1

Man sieht, dass

f (x) = {1

falls

x = 0; 0

sonst
die Grenzfunktion ist..

Dies kann man zeigen, indem man

x \neq 0

einsetzt und dann den Grenzwert bestimmt

f_{n} (x \neq 0) = 0 \to 0

.
Man setzt dann

x = 0

ein und hat

f_{n} (0) = 1 \to 1

lim_{x \to \frac{1}{n}} f_{n} (x) = f_{n} (0) = 0 = f_{n} (\frac{1}{n}) = 1 - n \cdot \frac{1}{n} = 0,

also sind die Funktionenfolgeglieder stetig..

Jedoch ist

f (x)

unstetig.
Also nicht gleichmässig konvergent.

Könnt ihr mir vielleicht noch einmal den Schritt erklären, wie ich in das Supremum hinein ein 1 erhalte?

Ich müsste ja die Intervallgrenze untersuchen. Also müsste ich

\frac{1}{n}

betrachten.
Ich sehe, dass

\frac{1}{n}

zum ersten Teil des INtervalls gehört, also

f_{n} (\frac{1}{n}) = 1 - n \cdot \frac{1}{n} = 0

\frac{1}{n}

gegen 0 geht, ist der Grenzwert

lim_{n \to \infty} f_{n} (\frac{1}{n}) = f (0) = 1

und somit das Supremum

= 1

.

Also muss ich hier zuerst den Grenzwert "nehmen", also

\frac{1}{n} \to 0

,deshalb

f (\frac{1}{n}) = f (0) = 1

. Oder aber

\frac{1}{n}

ist nie

0,

deshalb

f (\frac{1}{n}) = f (x \neq 0) = 0

Schon die erste Variante, oder?

Shipwater aktiv_icon

17:13 Uhr, 20.07.2012

Sehr verwirrend was du da machst. Es reicht doch zu begründen, dass die

f_{n}

stetig sind und

f

unstetig ist. Was willst du mehr?

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17:31 Uhr, 20.07.2012

Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob ich das einfach so verwenden darf.. (Eigentlich heisst es, man müsse jeden Schritt genau begründen..) Und ich möchte nicht unbedingt den Beweis liefern müssen, dass das, was du geschrieben hast, wirklich so ist..

Deshalb habe ich gedacht, ist es am einfachsten, wenn ich gerade über die Definition arbeite. Die Definition von gliechmässiger Stetigkeit ist ja, dass das Supremum gegen 0 geht. Wenn ich also nun ein bestimmtes

x

wähle und zeige, dass dieser Wert

> 0

ist, kann das Supremum nicht gegen 0 gehen und somit liegt keine gleichmässige Konvergenz vor.

Dazu wähle ich das

x := \frac{1}{n}

und schaue dann

f (\frac{1}{n})

an und

f_{n} (\frac{1}{n})

und betrachte dann die Differenz..

f (\frac{1}{n}) = f (0) = 1

oder?

Und

f_{n} (\frac{1}{n}) = 0

Also ist die Differenz

= 1 > 0

und somit muss das Supremum

\geq 1

sein, womit gliechmässige Stetigkeit widerlegt wäre.. ?

Ich bin mir jetzt aber nicht ganz sicher, ob ich einfach sagen darf, dass

f (\frac{1}{n}) = f (0) .

. IRgendwie macht es ja Sinn, denn schliesslich geht

\frac{1}{n} \to 0

wenn

f_{n} \to f

und somit ist

lim_{n \to \infty} f_{n} (\frac{1}{n}) = f (0),

womit das Obige eventuell begründbar wäre?

Oder ist die Argumentation falsch?

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17:37 Uhr, 20.07.2012

Natürlich ist nicht

f (\frac{1}{n}) = f (0)

\forall n \in ℕ : \frac{1}{n} > 0

also

f (\frac{1}{n}) = 0

Du kannst aber einfach wieder

x (n) = \frac{1}{2 n}

wählen und alles wird gut.
Den Beweis, um den du dich drücken möchtest, hatte ich hier mal beschrieben: www.onlinemathe.de/forum/Folge-stetiger-Fkt-gleichmaessig-konvergieren

student11 aktiv_icon

17:46 Uhr, 20.07.2012

Wieso denn genau

\frac{1}{2 n}

? Ich habe ja

\frac{1}{2 n}

noch nicht mal als Grenze? Und was bringt mir das genau? Hat

\frac{1}{2 n}

ja nicht eigentlich dasselbe Verhalten wie

\frac{1}{n}

und gehört auch jeweils in dasselbe Intervall?

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17:53 Uhr, 20.07.2012

Was willst du eigentlich immer mit deinen Grenzen? :-)
Wenn du

\frac{1}{2 n}

nicht magst dann nimm halt

\frac{1}{3 n}

oder

\frac{1}{4 n}

oder ganz allgemein

\frac{1}{a n}

mit

a > 1

student11 aktiv_icon

18:03 Uhr, 20.07.2012

Vielen DAnk für den Link, werde diesen Beweis mal studieren. :-)

Okay, ich nehme

\frac{1}{2 n}

.

Ich sehe, dass

f_{n} (\frac{1}{2 n}) = 1 - n \cdot \frac{1}{2 n} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

f (\frac{1}{2 n}) =

??

Ich sehe mich irgendwie mit dem selben Problem konfrontiert wie bei

\frac{1}{n}

. Ich sehe einfach nicht, wie ich

f (\frac{1}{2 n})

berechnen kann, ohne zu sagen, dass ja

n

eh gegen unendlich geht, wenn ich die Grenzfunktion nehme und so

\frac{1}{2 n}

eh auch gegen 0 geht, und somit

f (\frac{1}{2 n}) = f (0)

ist, aber das ist ja wahrscheinlich eben falsch.

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18:05 Uhr, 20.07.2012

f (\frac{1}{2 n}) = 0

einfach weil

\frac{1}{2 n}

für alle

n \in ℕ

größer null ist!

student11 aktiv_icon

18:48 Uhr, 20.07.2012

Ok, jetzt sehe ich, weshalb ich

a > 1

wählen sollte..

wie finde ich denn solche Kanditaten? Ich meine, ich habe mir die Funktion aufgezeichnet, ich habe mir viel Gedanken dazu gemacht, aber ich scheitere irgendwie einfach daran, zu sehen, wo genau das Problem liegt..

: (

Im Allgemeinen gilt aber, dass

f (\frac{1}{t (n)})

mit

t

ein Polynom in

n

immer grösser 0 ist und somit

f (\frac{1}{t (n)}) \neq f (0)

im Allgemeinen.. Somit ist obige Argumentation von mir Quatsch..

Am besten ein paar

x (n)

einsetzen

?

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19:07 Uhr, 20.07.2012

Vielleicht setzt du erstmal ein paar

n \in ℕ

ein und schaust dann welche Werte

| f_{n} (x) - f (x) |

durchläuft, wenn

x D

durchläuft. Bei deinem letzten Beispiel sieht man, dass für

x

nahe an null

| f_{n} (x) - f (x) |

nahe an 1 ist.

student11 aktiv_icon

19:20 Uhr, 20.07.2012

Ja das ergibt irgendwie Sinn..
Ich denke, im Extremfall haben wir eh maximal 1 Aufgabe in diesem Stil, von da her hoffe ich darauf, dass mir an der Prüfung dann was Schlaues dazu einfällt.. :-)

Vielen Dank für deine Hilfe - ich hoffe, ich kann das dann anwenden, was du mir beigebracht hast :-P)

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19:21 Uhr, 20.07.2012

Viel Erfolg :-)

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