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Pyramidenhöhe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abstand, eben, Normalform, Pyramide

Jammila aktiv_icon

18:07 Uhr, 10.04.2013

Hallo :-)

Bräuchte mal eure Hilfe ...
Gegeben ist mir eine Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S.
A( 7 / 1 / 0)
B(7 / 7/ 2)
C(1 / 7/ 4)
D (1 / 1 / 2)
S(7 / 2 / 4)

Wie berechne ich die Höhe der Pyramide ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

-fuuu- aktiv_icon

18:19 Uhr, 10.04.2013

Du nimmst die Grundseite(n) der Pyramide und machst in den gegenüberliegenden Punkt im rechten winkel einen Strich, die Höhe, dann kannst du ablesen wie lang die Höhe ist und du bist fertig.
Ich hoffe ich konnte dir helfen

Jammila aktiv_icon

18:23 Uhr, 10.04.2013

Jaein...

Ich muss rechnerisch auf die Höhe kommen ...

Aber Danke trotzdem :-)

michael777 aktiv_icon

18:24 Uhr, 10.04.2013

Ebenengleichung ABC aufstellen
mit Hesse-Normalform dieser Ebene den Abstand der Spitze

S

berechnen

-fuuu- aktiv_icon

18:26 Uhr, 10.04.2013

Kein Problem ;-)
habe das auch von einem Dreieck abgeleitet :-D)D
ich bin in der 8. Klasse also habe ich keinen Plan wie man das rechnerisch Lösen kann jedoch habe ich eine Vermutung:

versuchs mit pythagoras satz

zuerst musst du hs herausfinden

dazu musst du s²-1/2a² rechnen

dann hast du hs² raus

dann wurzel von hs²-1/2a² rechnen und schon hast du h²

wurzel davon ist die höhe
ich hoffe das war hilfreicher ;-)

Jammila aktiv_icon

18:30 Uhr, 10.04.2013

Wie stelle ich eine Ebenengleichung auf ?

Sollte die Ebenengleichung nicht aus den Punkten ABCD bestehen ?

michael777 aktiv_icon

18:33 Uhr, 10.04.2013

3 Punkte reichen für die Ebenengleichung

Parameterform:

\vec{x} = \vec{a} + s \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + t \cdot (\vec{c} - \vec{a})

dann in Koordinatenform umrechnen

Jammila aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.04.2013

hab jetzt für die Parameterform

(\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ 6 \\ 4 \end{matrix})

Koordinatenform

1 a - 3 b + 3 c = 4

Wie berechne ich die höhe mit der hesse´sche Normalform ?
Wie berechnet man dann das volumen der pyramide ?

prodomo aktiv_icon

07:26 Uhr, 11.04.2013

Bitte überprüfe zunächst, ob dein Normalenvektor auch wirklich orthogonal zu beiden Richtungsvektoren ist, das Skalarprodukt also 0 ergibt. Es muss

(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 0

und

(\begin{matrix} - 6 \\ 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) = 0

gelten. Das ist bei

(\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix})

nicht der Fall.
Für die Hesseform teilst du die Gleichung in Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors. Dann setzt du für

\vec{x}

den Ortsvektor der Spitze ein.
Also Normalenform

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - 6 = 0

\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{11}

.
Einsetzen gibt

\frac{1}{\sqrt{11}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) - \frac{6}{\sqrt{11}} = \sqrt{11}

. Das ist die Höhe. Da

V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

ist, brauchst du noch G. Die Grundfläche ist ein Parallelogramm, aufgespannt von AB und AD. Der Betrag ihres Kreuzproduktes ist

12 \cdot \sqrt{11}

. Daraus ergibt sich

V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 44

VE.

Jammila aktiv_icon

07:41 Uhr, 11.04.2013

Ala erstes danke fuer die ausführlich Erklärung :-)
3

- 3

1
ist also falsch ?
Was muss ich stattdessen nehmen ?
Ich versteh auch nicht ganz wie du beim parallelogram auf

G

ist

12

rauskommst ?
Kannst du mir noch erklären wie man den Fußpunkt der pyramidenhohe berechnet ?

prodomo aktiv_icon

06:58 Uhr, 12.04.2013

Ich habe nicht

G = 12,

sondern

G = 12 \cdot \sqrt{11}

gepostet. Kreuzprodukt ist dir doch bekannt, oder ? Der Betrag ist definitionsgemäß gleich der Fläche des Parallelogramms, dass die beteiligten Vektoren aufspannen. Auch

\vec{n}

kann man so finden. Du kannst aber auch die beiden von mir vom

11.04

. um

7.26

Uhr benutzen, dann ergibt sich

6 \cdot n_{2} + 2 \cdot n_{3} = 0,

daraus folgt

n_{3} = - 3 \cdot n_{2}

- 6 \cdot n_{1} + 6 \cdot n_{2} + 4 \cdot n_{3} = 0

. Jetzt für

n_{3}

den obigen Wert einsetzen, liefert

- 6 \cdot n_{1} + 6 \cdot n_{2} + 4 \cdot (- 3 \cdot n_{2}) = 0,

also

- 6 \cdot n_{1} - 6 \cdot n_{2} = 0

oder

n_{2} = - n_{1}

. Jetzt kannst du dir eine Komponente beliebig aussuchen, ich habe

z . B

n_{1} = 1

genommen. Dann wird

n_{2} = - 1

und

n_{3} = 3, \vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

. Durch das "beliebig aussuchen" (dahinter steckt, dass jedes Vielfache von

\vec{n}

ja auch senkrecht zur Ebene ist) bekommst du nicht das Kreuzprodukt in Originallänge.

blaithin2502 aktiv_icon

17:11 Uhr, 10.09.2018

Kannst du evtl kurz erläutern wie du bei der Normalform auf

- 6

kommst? Den Rest hab ich verstanden :-)

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