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Q und N gleichmächtig?
Schüler Berufsmaturitätsschule, 13. Klassenstufe
Tags: Mächtigkeit, natürliche Zahlen, Rationale Zahlen
 
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Hallo zusammen, hätte noch eine weitere Frage: Und zwar behauptet Wikipedia folgendes: "Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist. Mit anderen Worten gibt es bijektive Abbildungen zwischen
Kann mir die gleiche Mächtigkeit nur erklären, weil beide Mengen unendliche Mengen sind - aber dort wird das ja anscheinend anders begründet. Kann mir das also jemand erklären, sodass auch ich es kapiere? Und ist meine Begründung (beides unendliche Mengen) überhaupt richtig?
Danke & mfg |
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Das beide Mengen unendlich sind ist kein Argument, da die ja auch unendlich ist, aber nicht gleichmächtig ist wie . Anschaulich erklärt: Stelle dir vor du hast einen Topf mit allen ganzen Zahlen von 0 bis . (das ist Und einen anderen Topf mit allen Brüchen (also . Nun kannst du jedem Bruch aus eine Zahl aus dem Topf zuweisen, und somit sind diese Mengen gleichmächtig. Diese Zuweisungsvorschrift ist zb das Cantorsche Diagonalverfahren. |
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Hallo, Erstmal danke für deine Antwort. So habe ich das auch schonmal erklärt bekommen - ist mit aber völlig unlogisch. Gibt doch viel mehr Brüche als ganze Zahlen: im Bereich zwei ganzer Zahlen und gibt es doch unendlich Brüche: usw. Bei der Zuordnung von je einer ganzen Zahl mit einer rationalen bleiben doch dann jede Menge Brüche "übrig"? |
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Dann empfehle ich dir, dir einmal das cantor diagonalverfahren anzuschauen, vlt verstehst du dann warum die beiden Mengen gleichmächtig sind. http//de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument |
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und 
, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweisen und umgekehrt. Cantors erstes Diagonalargument und der Stern-Brocot-Baum liefern solche bijektiven Abbildungen. Die Eigenschaft, gleichmächtig zu einer Teilmenge von sich selbst zu sein, ist charakteristisch für unendliche Mengen."