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Quader mit max. Volumen bestimmen - Extremwert

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, extremalaufgab berechnen, Extremwertaufgaben, Extremwertproblem

Mathematik1 aktiv_icon

12:49 Uhr, 07.02.2013

Hallo,
die Frage der Extremwertaufgabe lautet wie folgt:
Aus einem Draht mit der Länge von 144cm soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche formt werden. Wie sind die Seiten in ihrer Länge zu wählen, damit dieser Quader das größtmögliche Volumen hat ?

Meine Fragen:
Extremalbedingung: V=a³ oder

V = x \cdot y \cdot z

Randbedingung:

a > 0

Nebenbedingung:

4 \cdot x \cdot y \cdot z = 144

und umgestellt beispielsweise nach

y = \frac{144}{4 \cdot x \cdot z}

.
Wenn ich dann die Nebenbed. in die Extremalbed. einsetze kürtz sich

x

und

z

heruas. Übrig bleibt:

V (x) = \frac{144}{4}

.
Wie muss ich die Extremalbedingung und die Nebenbedingung richtig aufstellen ??

Danke für Beantwortungen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

sm1kb aktiv_icon

13:20 Uhr, 07.02.2013

Hallo Mathematik1.

V = a^{2} \cdot h

soll ein Maximum werden. Die Summe der Kantenlängen ist

L = 4 h + 8 a = 144 c m

h = 36 - 2 a

in die Volumenformel einsetzen, nach

a

differenzieren, gleich Null setzen ergibt:

a = h = 12

, also ein Würfel.
Gruß von sm1kb

Edddi aktiv_icon

13:43 Uhr, 07.02.2013

. .

. es wird wohl ohne Frage auf den Würfel hinauslaufen. Ansonsten ist eine Extremstelle einer Fläche in 3 Dimensionen gesucht. Da schon eine quadratische Grundfläche gegeben ist, hast du nur 2 freie Variablen, also ganz einfach wie oben schon beschrieben.

Für rechteckige Grundfläche kann man mit Parametern arbeiten.

Angenommen, du hättest die Länge

l

des Quaders fest vorgegeben, was gilt dann für

b

und h?

V = l \cdot b \cdot h

K=Kantenlänge

K = 4 \cdot (l + b + h) = 144 \Rightarrow h = \frac{144}{4} - l - b

Einsetzen in die Volumenformel ergibt:

V = l \cdot b \cdot (\frac{144}{4} - l - b) = 36 \cdot l \cdot b - l^{2} \cdot b - l \cdot b^{2}

Nun ist das Volumen nur noch von

b

abhängig, also ganz normal über Ableitung Extremstelle suchen

(l

wird ja als Parameter gehandelt)

V' (b) = 36 \cdot l - l^{2} - 2 \cdot l \cdot b = 0 \Rightarrow b = \frac{36 \cdot l - l^{2}}{2 \cdot l} = 18 - \frac{l}{2}

Wir haben also

b = 18 - \frac{l}{2}

und somit für

h = \frac{144}{4} - l - b = 18 - \frac{l}{2}

Das Volumen ergibt sich also zu:

V = l \cdot {(18 - \frac{l}{2})}^{2}

Nun kann man noch das Maximum für

l

suchen:

V' (l) = 0 \Rightarrow 0 = {(18 - \frac{l}{2})}^{2} - l \cdot (18 - \frac{l}{2}) = (18 - \frac{l}{2}) \cdot (18 - \frac{3}{2} \cdot l)

Dies führt zu den Lösungen

l = 36

und

l = 12

Über die 2. Ableitung (Da

V'' (12) < 0)

ergibt sich also Maximum für

l = 12

und damit:

l = 12

und

b = h = (18 - \frac{l}{2}) = 12

Damit wärs dann der Würfel mit

12

Kantenlänge.

Der andere Weg wäre über das Nullsetzen beider partieller Ableitungn:

Bei gegebener Länge und Breite ergibt sich für die Höhe über die Kantenlänge:

h = 36 - l - b

und somit das Volumen in Abh. von

b

und

l

V (b, l) = b \cdot l \cdot (36 - l - b) = 36 \cdot b \cdot l - b \cdot l^{2} - b^{2} \cdot l

\frac{δ V}{δ b} = 36 \cdot l - l^{2} - 2 \cdot b \cdot l = 0

\frac{δ V}{δ l} = 36 \cdot b - 2 \cdot b \cdot l - b^{2} = 0 \Rightarrow l = \frac{36 \cdot b - b^{2}}{2 \cdot b} = 18 - \frac{b}{2}

Einsetzen in

\frac{δ V}{δ b} = 0

liefert

36 \cdot l - l^{2} - 2 \cdot b \cdot l = 0

36 \cdot (18 - \frac{b}{2}) - {(18 - \frac{b}{2})}^{2} - 2 \cdot b \cdot (18 - \frac{b}{2}) = 0

648 - 18 \cdot b - 324 + 18 \cdot b - \frac{b^{2}}{4} - 36 \cdot b + b^{2} = 0

324 - 36 \cdot b + \frac{3}{4} \cdot b^{2} = 0

- 48 \cdot b + b^{2} = - 432

{(b - 24)}^{2} = - 432 + 24^{2}

b - 24 = \pm \sqrt{144}

b = 24 \pm 12

. .

. auch hier sind die Lösungen zu überprüfen, ob's sich wirklich um Extremstellen oder Sattelpunkte handelt.

;-)

Mathematik1 aktiv_icon

14:12 Uhr, 07.02.2013

Hallo,
danke für die insbesondere zum Schluss sehr ausführliche Antwort.
Mit drei Parametern zu arbeiten ist aber wie ich nun erfahren habe auch möglich.

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