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Quadratische Gleichung mit 2 Variablen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

bastianp01 aktiv_icon

16:18 Uhr, 17.08.2011

Hallo zusammen.

Ich habe hier folgendes Problem.

Für welche Werte

k \in ℝ

hat folgende Gleichung zwei Lösungen?

{(k \cdot x)}^{2} - 4 \cdot x + 2 = 0

Ich hab das jetzt soweit ausgerechnet, aber mein Ergebnis stimmt leider nicht so ganz mit der Lösung überein :-)

. .

. Vielleicht kann mir jemand von Euch sagen wo mein Fehler liegt?

k^{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 2 = 0 |

Substituieren

k^{2} = z

z \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 2 = 0 | \cdot \frac{1}{z}

x^{2} - \frac{4 \cdot x}{z} + \frac{2}{z} = 0 |

quadratische Ergänzung

x^{2} - \frac{4 \cdot x}{z} + {(\frac{2}{z})}^{2} + \frac{2}{z} = {(\frac{2}{z})}^{2}

x^{2} - \frac{4 \cdot x}{z} + {(\frac{2}{z})}^{2} = {(\frac{2}{z})}^{2} - \frac{2}{z} |

Klammer ausgerechnet und Bin. Formel

{(x - \frac{2}{z})}^{2} = \frac{4}{z^{2}} - \frac{2}{z}

Wenn die rechte Seite der Gleichung jetzt

< 0

oder

= 0

wäre, so hätte die Gleichung ja keine bzw. nur eine Lösung (wegen dem Quadrat auf der linken Seite). Da die Gleichung zwei Lösungen haben soll, muss die rechte Seite also

> 0

sein.

Also müsste ja folgendes gelten.

\frac{4}{z^{2}} - \frac{2}{z} > 0 | \cdot z^{2}

4 - z \cdot 2 > 0

- z \cdot 2 > - 4 | \cdot (- \frac{1}{2})

z < 2

Jetzt hab ich ja zu Anfang

k^{2} = z

gesetzt. Das substituier ich jetzt zurück:

k^{2} = z < 2

k^{2} < 2

k < \sqrt{2}

und

k < - \sqrt{2}

Daraus interpritiere ich jetzt, dass die Gleichung oben zwei Lösungen hat für

k < \sqrt{2}

und

k < - \sqrt{2}

Laut Musterlösung soll aber

0 < | k | < \sqrt{2}

rauskommen.

Kann mir wohl jemand sagen, wo mein Fehler liegt. Das wär super

. .

.

Vielen Dank schonmal und viele Grüße
Bastian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

16:28 Uhr, 17.08.2011

Du machst es dir viel zu schwierig. Es gibt dann zwei reelle Lösungen, wenn die Diskriminante

D = b^{2} - 4 a c

positiv ist. Also:

16 - 8 k^{2} > 0 \Leftrightarrow 16 > 8 k^{2} \Leftrightarrow 2 > k^{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} > | k |

Und

k \neq 0

musst du beachten, weil du sonst keine quadratische Gleichung mehr hast.
Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Diskriminante_einer_quadratischen_Gleichung

bastianp01 aktiv_icon

19:41 Uhr, 17.08.2011

vielen Dank für die schnelle Antwort

eine Frage hätte ich dazu noch.
und zwar, kommen wir ja beide auf das Ergebnis

k < \sqrt{2}

und dass

k \neq 0

ist, kann ich auch noch nachvollziehen...

aber laut der Lösung muss ja

| k |

zwischen 0 und

\sqrt{2}

liegen... ist das denn mit unserem Ergebnis so erfüllt?

ich versuch mal mein verständnisproblem zu erklären

. .

.

wenn es heißt

k < \sqrt{2}

und

\neq 0,

dann könnte

z . b

- 5

ja ein mögliches Ergebnis sein.
In der Musterlösung wird das aber durch

0 < | k | < \sqrt{2}

ausgeschlossen.

Wie hast du eigentlich die Betragsstriche in deiner Lösung bekommen?
hab noch nicht so ganz verstanden wie du von

k^{2} < 2

auf

| k | < \sqrt{2}

gekommen bist. ich hab das zu

k < \sqrt{2}

und

k < - \sqrt{2}

umgewandelt. ist das falsch?

sorry dass ich nochmal nachfragen muss

Shipwater aktiv_icon

10:18 Uhr, 18.08.2011

Richtig radizieren!! Also insbesondere

\sqrt{k^{2}} = | k |

beachten.
Bei Gleichungen kann man zwar mit

k^{2} = 9 \Leftrightarrow k_{1; 2} = \pm 3

arbeiten, aber bei Ungleichungen musst du den Plus/Minus-Quatsch vergessen. Sonst ist deine Lösungsmenge halt einfach falsch. Ich will das mal an deinem Beispiel demonstrieren:

k^{2} < 2

ergibt mit deiner Methode

k < \sqrt{2}

und

k < - \sqrt{2}

also zusammengefasst

k < \sqrt{2}

. Wegen

- 5 < \sqrt{2}

müsste

- 5

die Ungleichung also erfüllen. Nun ist aber

{(- 5)}^{2} = 25

und offensichtlich nicht kleiner als 2. Ein Gegenbeispiel reicht also schon aus, um zu zeigen, dass du bei Ungleichungen nicht mehr die Plusminus-Wurzel ziehen darfst.

k^{2} < 2 \Leftrightarrow | k | < \sqrt{2}

hingegen ergibt den richtigen Lösungsbereich

- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}

.
Nun gibt es noch einen anderen Weg solche quadratischen Ungleichungen zu lösen. Vielleicht wird es dir ja klarer, wenn ich diesen vorstelle.

k^{2} < 2 \Leftrightarrow k^{2} - 2 < 0

k^{2} - 2

ist nun der Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel. Die Nullstellen von

k^{2} - 2

sind

k_{1} = - \sqrt{2}

und

k_{2} = \sqrt{2}

. Weil die Parabel nach oben geöffnet ist (stelle sie dir in Gedanken vor) sind alle Funktionswerte an Stellen zwischen den Nullstellen negativ. Also kommst du wieder auf

- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}

.

Gruß Shipwater

Gerd30.1 aktiv_icon

14:14 Uhr, 18.08.2011

k^{2} x^{2} - 4 x + 2 = 0 | \cdot \frac{1}{k^{2}} \Rightarrow x^{2} - \frac{4}{k^{2}} x + \frac{2}{k^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{k^{2}} \pm \sqrt{\frac{4}{k^{4}} - \frac{2}{k^{2}}} = \frac{2}{k^{2}} \pm \sqrt{\frac{4}{k^{4}} - \frac{2 k^{2}}{k^{4}}} \Rightarrow

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2 k^{2}}}{k^{2}}

hat 2 Lösungen genau dann, wenn

4 - 2 k^{2} > 0 \Leftrightarrow k^{2} < 2

ist, also

- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}

bastianp01 aktiv_icon

18:27 Uhr, 18.08.2011

erstmal vielen dank für die guten erklärungen. vor allem das mit dem radizieren bei ungleichungen

. .

. das macht natürlich sinn.

sorry wenn ich dann trotzdem nochmal nachfragen muss :-)

könnt ihr mir sagen, warum in der musterlösung dann

0 < | k | < \sqrt{2}

steht?
wir haben ja

- \sqrt{2} < | k | < \sqrt{2}

ausgerechnet. wie gesagt, dass 0 nicht in der lösungsmenge enthalten sein darf kann ich nachvollziehen - es gäb ja sonst nicht zwei lösungen.

ich versteh dann nur nicht warum die lösung

0 < | k | < \sqrt{2}

lautet und nicht

- \sqrt{2} < | k | < \sqrt{2}

ohne 0

Aurel

03:53 Uhr, 19.08.2011

\Leftrightarrow

....äquivalent

\land

...und

| k | < \sqrt{2} \Leftrightarrow - \sqrt{2} < k < \sqrt{2} . .

. mir scheint, das habt ihr ausgerechnet, mit der zusätzlichen Bedingung

k \neq 0

| k | < \sqrt{2} \Leftrightarrow - \sqrt{2} < | k | < \sqrt{2} . .

. das habt ihr nicht ausgerechnet, obwohl auch diese Äquivalenz gültig ist, da

- \sqrt{2} < | k |

für alle

k \in ℝ

gilt, da

| k |

ja stets positiv ist.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(| k | < \sqrt{2}) \land (k \neq 0) \Leftrightarrow

(- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}) \land (k \neq 0) \Leftrightarrow

0 < | k | < \sqrt{2}

d . h

. die folgenden 3 Aussagen:

(| k | < \sqrt{2}) \land (k \neq 0),

(- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}) \land (k \neq 0),

0 < | k | < \sqrt{2}

sind alle äquivalent

bastianp01 aktiv_icon

10:35 Uhr, 19.08.2011

alles klar vielen dank euch allen!!

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