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Quadratische Ungleichung mit Bruch und Betrag

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsungleichung, Bruchgleichnungen, Quadratische Ungleichung

Jomeus aktiv_icon

16:58 Uhr, 12.02.2018

Guten Tag,

ich möchte folgende Aufgabe / Ungleichung lösen:

Für welche

x \in ℝ

gilt

(x - 1) \cdot \frac{x^{2} - x - 2}{x} \leq | x - 1 |

?

Ich habe meinen Lösungsversuch angehängt.

Die korrekte Lösung lautet wohl:

L = [- \sqrt{2}, 0) \cup [1, (1 + \sqrt{3})]

Ich komme leider auf eine andere Lösung. Es wäre super, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet.

Zu meinem Vorgehen:

1. Schritt:
Ich betrachte den Betrag

| x - 1 |

und führe eine Fallunterscheidung durch.

2. Schritt:
Ich betrachte den Nenner des Bruchs und weiß, dass dieser

\neq 0

sein muss.
Infolge dessen führe ich eine Fallunterscheidung durch und multipliziere mit dem Nenner.

Leider passt hier irgendetwas nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

17:47 Uhr, 12.02.2018

.
linke Seite deines Lösungsblattes:

da ist also

x > 1 ... .

. (für

x = 1

ist die Ungleichung

0 \leq 0

eh erfüllt)
.. und die folgenden Unterscheidungen erübrigen sich ,
denn wenn

x > 1 .

. dann ist garantiert

x > 0

..und

x < 0

kommt hier nicht in Frage.Fertig.

das führt sofort auf

x^{2} - 2 x - 2 \leq 0

und zusammen mit der Vor:

x > 1

ergibt sich der erste Lösungsteil

\to 1 \leq x \leq 1 + \sqrt{3}

soweit einverstanden ?
wenn ja - dann können wir uns die rechte Seite deines Lösungsblattes noch anschauen

.

Jomeus aktiv_icon

18:05 Uhr, 12.02.2018

Der linke Teil ist klar.

Das habe ich verstanden. Also kommen wir zum rechten Teil.

rundblick aktiv_icon

18:26 Uhr, 12.02.2018

.
"Also kommen wir zum rechten Teil."

dass der Term für

x = 0

nicht definiert ist , dürfte klar sein..

also nun zwei Schritte

(x - 1) \cdot \frac{x^{2} - x - 2}{x} \leq | x - 1 |

1) \to

untersuche in

0 < x < 1 \to

(x - 1) \cdot \frac{x^{2} - x - 2}{x} \leq - (x - 1) . .

. da jetzt

(x - 1)

negativ .. ändert bei Div die Richtung

\to

\frac{x^{2} - x - 2}{x} \geq - 1 . .

. und da in diesem Intervall

x > 0 \to

x^{2} - x - 2 \geq - x . . \Rightarrow .

x^{2} \geq 2 . .

. und da weder

x \leq - \sqrt{2}

noch

x \geq \sqrt{2}

einen Schnitt
mit

0 < x < 1

hat .. deshalb ist in

0 < x < 1

deine Ungleichung

n i c h t

erfüllt.

2)

es bleibt nun nur noch die Untersuchung des Intervalls

\to x < 0

da wird sich ein zweiter Lösungsteil mit

- \sqrt{2} \leq x < 0

ergeben

. .

.
Vorschlag: mach du jetzt mal die entsprechende Untersuchung neu

\to .

.

.

Jomeus aktiv_icon

19:08 Uhr, 12.02.2018

In dem roten Rechteck befindet sich meine Lösung für

x < 0 ...

.

Wenn ich beide Lösungsmengen vereinige, komme ich auf

L = [- \sqrt{2}, 0) \cup [1, (1 + \sqrt{3})]

rundblick aktiv_icon

19:31 Uhr, 12.02.2018

.
"In dem roten Rechteck befindet sich meine Lösung für x<0...."

\to

ok - nur das extra eingezeichnete Intervall

x < 1

hat da nichts zu suchen

und klar : die notierte Lösungsmenge

L

ist korrekt.

.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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