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Quersumme 3

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21:29 Uhr, 16.12.2015

guten Abend!

Wie kann man zeigen, warum eine Zahl durch 3 teilbar ist wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist?
Mit Hilfe der stellenwerttafel wäre toll!

Danke für eure Hilfe vorab

Roman-22

21:58 Uhr, 16.12.2015

Hier anhand eines Beispiels. Das kannst du dann ja noch formalisieren.
Was du mit Stellenwerttafel meinst, weiß ich nicht.

23457 =

= 2 \cdot 10000 + 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7 =

= 2 \cdot (9999 + 1) + 3 \cdot (999 + 1) + 4 \cdot (99 + 1) + 5 \cdot (9 + 1) + 7 =

= 2 \cdot 9999 + 3 \cdot 999 + 4 \cdot 99 + 5 \cdot 9 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 =

= 9 \cdot (2 \cdot 1111 + 3 \cdot 111 + 4 \cdot 11 + 5) + (2 + 3 + 4 + 5 + 7) =

= 9 \cdot i r g e n d w a s + Z i f f e r n s u m m e

Der erste Summand ist sicher durch 3 (und auch durch

9)

teilbar.
Die ganze Zahl ist daher nur dann durch 3 (oder

9)

teilbar, wenn auch der zweite Summand, die Ziffernsumme, durch 3 (oder

9)

teilbar ist.

R

EDIT: eben ist mir etwas in die Hände gefallen. Siehe beigefügte Grafik. Ich denke, dass ich jetzt auch weiß, was eine Stellenwerttafel ist.

Stephan4

22:24 Uhr, 16.12.2015

Wenn man zu einer Zahl, die durch 3 teilbar ist,
ein Vielfaches von 3 dazu zählt oder abzieht, dann
bekommt man wieder eine durch 3 teilbare Zahl.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ziffernsumme
einer Zahl durch 3 teilbar ist, wenn diese selbst
durch 3 teilbar ist. Und zwar so:

Zerlegt man

258

so:

258 = (2 \cdot 100) + (5 \cdot 10) + 8 =

= (2 \cdot 99 + 2) + (5 \cdot 9 + 5) + 8

und zieht davon alle durch 3 teilbare Zahlen
also

(2 \cdot 99) + (5 \cdot 9)

ab,
bleibt

2 + 5 + 8

übrig, und das ist die Ziffernsumme.

Wenn das durch 3 teilbar ist, dann ist logischerweise
auch

258

durch 3 teilbar.

:-)

Mathe45

22:44 Uhr, 16.12.2015

n = \sum_{i = 0}^{k} n_{i} \cdot 10^{i} = \sum_{i = 0}^{k} n_{i} \cdot (10^{i} - 1 + 1) = \sum_{i = 0}^{k} n_{i} \cdot (10^{i} - 1) + \sum_{i = 0}^{k} n_{i}

z . z . : 10^{i} - 1

Vielfaches von

3 (

Beweis VI )

\Rightarrow

ist

n

durch 3 teilbar , so muss auch

\sum_{i = 0}^{k} n_{i}

durch 3 teilbar sein.

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