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Quersummen Rätsel
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Axiom, Phänomen, Quersummen, Zahlentheorie
 
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Also hab da eine Frage zur Quersumme... Bei 8-stelligen Zahlen zb. 10071972 kommt beim Summieren der 1-stelligen Ziffern 9 raus. Wenn ich Kombinationen benütze, also zweimal die 4-stelligen addiere und davon wieder die Quersumme bilde, ergibt dies wiederum 9. Weitere Kombinationen von 2-stelligen mit 1-stelliger und 5-stelliger, ergibt wieder eine Zahl, deren Quersummer wieder 9 ist. Bsp.: 100+7+19+72 = 198 = 19+8 = 27 = 2+7 = 9 1+7+1+972 = 981 = 9+8+1= 18 = 1+8 = 9 etc... Gibt's dafür ein Axiom oder hat das Phänomen nen Namen? Freu mich, wenn mir jemand zur Erkenntnis hilft:-) |
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Hallo, das folgt doch einfach aus den Teilbarkeitsregeln. Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Wenn man die Summe oder Vielfache von Zahlen bildet, die durch 9 teilbar sind, ist die Summe, bzw. sind die Vielfachen auch durch 9 teilbar, also auch deren Quersumme. Grüße |
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Oh ok... Grundlagen sind lange her *schmunzel* aber danke fürs Auffrischen. Hab ja da schon an so die Verlinkung zu Termen gedacht: wenn (a+b) = 9 ergibt das ja die höchste 1-stellige Zahl und bei 2-stelligen ist es ja 10(a+b) und davon (a+b) abgezogen, führt ja immer wieder zur Vielfachen von 9. Aber nun eine weitere Frage: Ich habe 1051948 gegeben und bilde in diversen Kombinationen die Quersumme, z.B. 1+5+19+48 = 73 = 10 = 1 105+1948 = 2053 = 2+5+3 = 10 = 1 Wieso kommt denn auch diesmal dieselbe Quersumme raus? Gibt es ein Gesetz, von dem ich nix weiß, was ich da anwende, also die 7-stellige Zahl in x-stelligen Kombinationen zu summieren? Ich möcht das echt wissen, also bitte Frage entschuldigen (viell. ist ja ein Nagel in meinem Brett vorm Kopf :-) Grüße |
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Hallo, also entweder hat sich mathemaus999 nur ungeschickt ausgedrückt oder die Frage tatsächlich falsch beantwortet. Was aber korrekt ist, ist, daß eine Zahl genau dann durch 9 teilbar ist, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Ist die Zahl selbst nicht durch 9 teilbar, dann läßt sie beim Teilen durch 9 einen Rest. Die Quersumme der Zahl läßt beim Teilen durch 9 den exakt gleichen Rest!!! Was für die Quersumme gilt, gilt aber auch für die Quersumme der Quersumme der Quersumme ... Mit anderen Worten, sobald die aus diesem Iterationsverfahren etstehende Zahl kleiner gleich 9 (also einstellig) ist, ist das Ergebnis gleich dem Rest der Division der Ausgangszahl durch 9 (einzige Ausnahme: Wenn der Rest Null ist, dann ergibt sich eine 9, denn die einzige Zahl, deren Quersumme Null ist, ist die Null selber!). Wenn Du nun Deine Ausgangszahl x, Anzahl der Stellen gleich n, in n_1 Anfangsziffern und n_2 Endziffern teilst (n_1 + n_2 = n). Dann kannst Du Deine Zahl x so darstellen: x = x_1*10^n_1 + x_2 und x_1 bzw. x_2 sind die aus den ersten n_1 bzw. letzten n_2 Ziffern gebildeten Zahlen. Dann ergibt sich bei der Quersumme von x_1 der selbe Wert wie bei der Quersumme von x_1*10^n_1, denn da werden ja nur n_1 mal die Null dazuaddiert. Die iterative Quersumme von x_1 ist also gleich der iterativen Quersumme von x_1*10^n_1 und ist gleich dem Rest bei der Division von x_1*10^n_1 durch 9. Die iterative Quersumme von x_2 ist gleich dem Rest bei der Division von x_2 durch 9. Da nun aber gilt: x = x_1*10^n_1 + x_2 ist die Quersumme der Reste bei der Division von x_1*10^n_1 durch 9 und von x_2 durch 9 gleich dem Rest bei der Division von x durch 9 (Rechengesetze in den Restklassen; Modulo!) "Gibt's dafür ein Axiom oder hat das Phänomen nen Namen?" Darauf könnte man Antworten: Ja, das Phänomen hat einen Namen: Homomorphie der ganzen Zahlen bzgl. der Addition zum Restklassenring Z_9 (ganze Zahlen modulo 9) bzgl. der Addition. Das Axiom ist dabei nur eine Definition, die für die Addition im Restklassenring. Beantwortet das Deine Frage jetzt? |
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Hallo neunana, nachdem Du die Antwort gelesen und Dir deshalb einen Blick auf mein Profil gegönnt hast, wäre ein kleines "Ja, danke." doch auch noch drin gewesen, oder? Aber Höflichkeit ist halt nicht jederfraus Sache! |
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Hallo m-at-he, also um das Pferd von hinten auf zu zäumen...mann sollte nicht so schnell über jederfrau urteilen! Nicht aus Unhöflichkeit habe ich nicht gleich geantwortet...sondern aus Respekt wollte ich mir meine Antwort überlegen. Großen Dank für Dein Bemühen zu früher Stund, mir meine Frage zu beantworten. Nur muss ich zugeben, dass ich nichts von Restklassengesetzen & moduli weiß und mir das vielleicht erst mal anschauen sollte, bevor ich mich dem Verständnis widme. Also bitte ich noch um ein wenig Geduld, um dann hoffentlich sagen zu können, dass ich es verstanden hab. |
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Also hab es mal durchgerechnet... >>x = x_1 + x_2>x = x_1*10^n_1 + x_2>Die iterative Quersumme von x_1 ist also gleich der iterativen Quersumme von x_1*10^n_1 und ist gleich dem Rest bei der Division von x_1*10^n_1 durch 9.>ist die Quersumme der Reste bei der Division von x_1*10^n_1 durch 9 und von x_2 durch 9 gleich dem Rest bei der Division von x durch 9 (Rechengesetze in den Restklassen; Modulo!)<< x_2/9 = 948/9 = ….Rest 0,333… Summe der Reste = 1,111333… = Quersumme 1 ok also die Quersumme der Reste von allen durch 9 geteilten Unter-Summen der n-stelligen Zahlen (x = x_1 + x_2) ist gleich dem Rest der Ausgangszahl durch 9. also die summierten Unter-Reste ergeben immer Gesamt-Rest….weil ja jede Stelle ein Zehner Vielfaches bedeutet à la 1-stellige Zahl = a+b und 2-stellige Zahl = 10(a+b) – (a+b), weil ja nun mal die kleinste 1stellige Zahl 9 ist bleibt zur 10 immer nen Rest, der sich jede Stelle wiederholt und am Ende die gleichen Quersummen bei Stellenkombinationen erklärt….Homomorphie… Ich hoff, ich hab’s richtig erklärt, wenn nicht hätt ich’s nur halb verstanden und würde es ganz Frau der Zahlenmystik zuschreiben *g*. Also hab vielen Dank für die Mithilfe zur Erkenntnis, dass wieder mal alles Sinn ergibt, wenn man nur nach Gründen sucht… |
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Hallo, den Teil Deiner Erklärung kann ich nicht verstehen: "x_2/9 = 948/9 = ….Rest 0,333… Summe der Reste = 1,111333… = Quersumme 1" Der Rest bei einer Division ganzer Zahlen ist immer eine ganze Zahl! Der Rest bei der Division von 948/9 ist 3, weil 945 durch 9 teilbar ist und 948 eben diese 3 "größer" ist. Die Summe der Reste ist somit natürlich auch wieder eine ganze Zahl und nicht 1,111333. Selbst wenn man annimmt, daß Du wie in der ersten Zeile die 3 auch noch durch die 9 geteilt hast und so 0,333 erhalten hast, wie kommst Du dann auf die 1,111333??? Bei der Division durch 9 entstehen immer solche Ergebnisse: 0,111111... 0,222222... ... 0,888888... 0 Und wenn man solche Zahlen addiert, dann erhält man ebenfalls solche Ergebnisse und niemals so ein Gemisch mit 1,111333! |
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