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R-Linearität, C-Linearität

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

Didgeridoo aktiv_icon

14:48 Uhr, 31.07.2011

Kann mir jemand sagen, was der Unterschied ist, zwischen

ℂ

-Linearität und

ℝ

-Linearität einer Abbildung? Ich sollte nämlich die Abbildung

f (z) = \overline{z}

auf

ℝ

- und

ℂ

-Linearität untersuchen. Heisst das einfach, dass

z \in ℝ

bzw.

z \in ℂ

? In dem Fall wäre es sowohl

ℂ

als auch

ℝ

- linear... da auf

ℝ

f (z) = z

natürlich linear ist und auf

ℂ

gilt:
Sei

z := a + b i

und

w := x + y i

f (α z + β w) = \overline{α z + β w} = \overline{α (a + b i) + β (x + y i)} = \overline{α a + α b i + β x + β y i} = α a + β x - α b i - β y i =

α (a - b i) + β (x - y i) = α f (z) + β f (w)

Stimmt das?
Vielen Dank schon im Voraus!

michaL aktiv_icon

15:11 Uhr, 31.07.2011

Hallo,

Linearität ergibt sich immer nur in Bezug auf den zugrunde liegenden Körper:

f (α x + β y) = α f (x) + β f (y)

.

Gilt diese Gleichung nun nur für reelle

α, β

, dann ist

f

halt nur

ℝ

-linear. Gilt sie aber auch für alle komplexen

α, β

, dann ist

f

halt sogar

ℂ

-linear.

Unklarheiten damit beseitigt?

Geht es in Richtung Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen? Da spielt das tatsächlich eine Rolle.

Mfg Michael

Didgeridoo aktiv_icon

16:49 Uhr, 31.07.2011

Ach, so. Ok. Danke vielmals. Ja, meine Unklarheiten wären damit beseitigt! :-) Danke!!!

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