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RICHTIG ABLEITEN! Differenzialfunktionen Guide
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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Hallo, ich habe starke Probleme in Mathe! Zur Zeit haben wir das Thema Differenzialfunktionen und versteh sogut wie nichts. Aber langsam muss ich was verstehen, da wir am 17.10. die erste Klausur schreiben. Es wäre mir lieb wenn wir mit den Ableitungen anfangen könnten. Ganz einfach Schritt für Schritt. Vielleicht kennt ihr auch nützliche Seiten mit Anleitungen etc. Ich hab was von Potenzregeln und Kettenregeln gehört kann damit aber nicht viel anfangen. Da es dem Großteil meiner Klasse genauso geht und unserer Lehrer nichts wiederholt, soll dieser Threat zum besseren Verständniss beitragen. Schön wären auch Übungsaufgaben die hier besprochen werden können. Fangen wir doch gleich mal mit der Ableitung von: Vielen Dank schonmal im vorraus! Tribial! |
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die erweiterten ableitungsregeln wie ketten, produkt -und Quotientenregeln sollten dir am anfang der 12.Klasse begegnet sein. Die Produktregel lautet f(x)=u(x)*v(x) f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) wenn du eine funktion f(x) hast, die sich in f(x)=u(x)*v(x) irgendwie zerlegen lässt kannst du diese produktregel anwenden dies lässt sich zum beispiel auf deine beispielsfunktion anwenden f(x)=(2x+1)*e^(-1/2*x) dabei kannst du u(x)=2x+1 und v(x)=e^(-1/2*x) daraus folgt u'(x)=2 zum bestimmen von v'(x) kannst du z.B die kettenregel anwenden. es ist nämlich v(x)=e^(-1/2*x)=(e^x)^(-1/2) dabei ist g(x)=e^x die innere funktion und h(e^x)=(e^x)^(-1/2) die äußere funktion nach der kettenregel gilt f(x)=h(g(x)) f'(x)=h'(g(x))*g'(x) h'(g(x))=h'(e^x)=-1/2*(e^x)^(-3/2)=-e^(-3/2*x)/2 g'(x)=e^x f'(x)=-e^x*e^(3/2*x)/2=-1/2*e^(-1/2*x) also ist v'(x)=-1/2*e^(-1/2*x) jetzt kannst du die produktregel anwenden f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)=2*e^(-1/2*x)-(2x+1)*1/2*e^(-1/2*x) den ausdruck kannst du dann noch nach belieben vereinfachen es gibt noch eine regel die sich "Differenzieren nach logarithmieren nennt" und zwar musstest du in deiner funktion f(x)=e^(-1/2*x) differenzieren man kann es auch allgemeiner schreiben zu f(x)=e^g(x) dabei ist in deinem fall g(x)=-1/2*x logarithmiere ich diese funktion so erhalte ich g(x)=ln(y) dabei ist (lny)'=y'/y also y'/y=g'(x) y'=g'(x)*y y'=g'(x)*e^g(x) hier hab ich diese regel angewandt und herausgefunden. dass du bei einer funktion des typs f(x)=e^g(x) einfach nur die erste ableitung des exponenten mit der funktion multiplizieren musst um die ableitung der gesamten funktion zu erhalten dann gibt es noch die regel "Differenzieren der Umkehrfunktion" und zwar gilt der zusammenhang f'(x)=1/phi'(y) dabei ist phi(y) die umkehrfunktion von f(x) beispiel die ableitung der umkehrfunktion des sinus sei gesucht dann ist f(x)=arcsin(x) phi(y)=sin(y) phi'(y)=cos(y) f'(x)=1/cos(y)=1/cos(arcsin(x)) dieser ausdruck ist jedoch nicht sehr schön mit dem trigonometrischen pythagoras kannst du den noch umformen und zwar ist sin²(x)+cos²(x)=1 cos²(x)=1-sin²(x) cos²(arcsin(x))=1-sin²(arcsin(x))=1-x² cos(arcsin(x))=WURZEL(1-x²) somit ist f'(x)=1/WURZEL(1-x²) das wars erstmal so weit von mir |
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