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Rabatt vs. Aufpreis -> Reihenfolge egal -> warum?

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Aufpreis, Prozent, Prozentpunkt, Prozentrechn, Prozentrechnung, Rabatt, Vertaschung

o0Julia0o aktiv_icon

16:06 Uhr, 23.01.2016

hi, ich komme mit Prozentrechnen klar. Jedoch steige ich nicht dahinter, warum das so ist. Also mal ein Beispiel:

Wenn man

z . B

. auf einen Preis von 5000€ einen Aufpreis von

20 %

und einen Rabatt von

10 %

bekommt, warum ist es dann egal, in welcher Reihenfolge man die Prozente berechnet.

Wenn man erst

20 %

Aufpreis und dann

10 %

Rabatt berechnet, bekommt man 5400€ heraus.
Das gleiche Ergebnis bekommt man, wenn man erst die

10 %

Rabatt und dann den Aufpreis von

20 %

berechnet.

Kann das jemand nachvollziehbar erklären? Danke!

Julia :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Prozentrechnen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Prozentrechnung - Einführung

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16:12 Uhr, 23.01.2016

Weil bei der Multiplikation die Reihenfolge egal ist.

5400 \cdot 1,2

\cdot 0,9 = 5400 \cdot 0,9 \cdot 1,2

1,2 =

Aufpreisfaktor

0,9 =

Rabattfaktor

o0Julia0o aktiv_icon

16:21 Uhr, 23.01.2016

dankeschön, supporter. Hm, das ist mir shon klar, dass die Reihenfolge bei der Multiplikation egal ist, aber man kann das auch anders berechnen - also erst

20 %

Aufpreis, davon dann

10 %

Rabatt (mit Formeln oder auch mit Dreisatz). Dann ist es wiederum nicht so klar.

Sicher kann man dann irgendwie begründen, dass es die gleiche Rechnung wie die Multiplikation ist. Aber vllt. gibts noch ne andere Erklärung - unabhängig vom Rechenweg?

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16:45 Uhr, 23.01.2016

Anderer Rechenweg:

5400 + \frac{20}{100} \cdot 5400 = 6480

6480 - \frac{10}{100} \cdot 6480 = 5832

oder:

5400 - \frac{10}{100} \cdot 5400 = 4860

4860 + \frac{20}{100} \cdot 4860 = 5832

Ich denke, der Rechenweg spricht für sich.

o0Julia0o aktiv_icon

17:17 Uhr, 23.01.2016

hey - lieb von Dir, dass du hilfst. Ich versuche mein Problem nochmal genauer zu formulieren. Also. Der Rechenweg sagt mir leider lediglich, dass die Reihenfolge egal ist - nicht wieso das so ist. Wie kann man das denn erklären, dass bei beiden Varianten dasgleiche Ergebnis bei rum kommt?

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17:30 Uhr, 23.01.2016

Was meinst du genau mit "erklären" ? Der Rechenweg ist doch die Erklärung.
Du versuchst dir das anscheinend irgendwie vorzustellen. Dazu fällt mir leider kein bildhafter Vergleich ein.

falooo aktiv_icon

18:20 Uhr, 23.01.2016

Ich möchte es auch versuchen und ergänze supporter:

Du rechnest in Variante 1 zuerst auf Deinen Anfangswert 20 % hinzu und von diesem Zwischenergebnis ziehst Du 10 % ab, also

5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot 6000

oder, wenn Du das Zwischenergebnis noch nicht berechnet hast

5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot (5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000)

Einverstanden? Durch schrittweises Umformen kannst Du verfolgen, weshalb dabei das Gleiche herauskommt, wie wenn Du als Variante 2 zuerst 10 % abziehst und dann 20 % dazunimmst:

5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot (5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000)

5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot \frac{20}{100} \cdot 5000

5000 - \frac{10}{100} \cdot 5000 + \frac{20}{100} \cdot 5000 - \frac{10}{100} \cdot \frac{20}{100} \cdot 5000

5000 - \frac{10}{100} \cdot 5000 + \frac{20}{100} \cdot (5000 - \frac{10}{100} \cdot 5000)

So. Rechnerisch, ist es also äquivalent, ob Du zuerst 20% dazurechnest und dann 10 % abziehst, oder umgekehrt.
In Worten:
In Variante 1 zählst Du 20 % des Anfangswertes dazu und ziehst 10 % des Anfangswertes ab. Zusätzlich musst Du berücksichtigen, dass auch 10 % der 20 % des Anfangswertes, die Du hinzugerechnet hast abzuziehen sind.
In Variante 2 ziehst Du 10 % des Anfangswertes ab und zählst 20 % des Anfangswertes hinzu. Allerdings musst Du 20 % der 10 % des Anfangswertes, die Du dabei zuviel hinzuzählst wieder abziehen.
10 % von 20 % oder 20 % von 10 % sind aber das Gleiche.

o0Julia0o aktiv_icon

19:21 Uhr, 28.01.2016

Ich danke euch!

Ich begreife den mahtematischen Weg. Man kann doch aber mit Mathematik die Wirklichkeit beweisen. Jedoch in diesem Beispiel nicht.

Bei Rabatt-/Aufschlagsverrechnungen, die nacheinander passieren, also mit zeitlichem Abstand, versteh ich, wieso man die Prozente nacheinander berechnet. Aber wieso kann man bei gleichzeitigen Aktionen die % nicht addieren?

Wie kann man beweisen/ zeigen, dass man die Prozente nacheinander verrechnen muss? Warum kann man die Prozente nicht vorher zusammenrechnen? Und bitte nicht als Antwort geben, „Weil dann ein anderes/ falsches Ergebnis herauskommt“. - Woher weiß man, was das richtige ist? Kann/ muss man bei 2 Rabatt-Coupons, auf denen steht: „10% auf die UVP“, die

10 %

addieren und bekommt somit

20 %

der UVP Rabatt?
Ist der Unterschied zu herkömmlichen Rabatten, dass in meinem Bespiel dabei steht, worauf sich die % beziehen? Also ohne Bezug muss man immer nacheinander berechnen?

Julia :-)

falooo aktiv_icon

00:50 Uhr, 29.01.2016

Hallo Julia,

irgendwie wirfst Du ziemlich viele Gedanken auf einmal zusammen.

"Man kann doch aber mit Mathematik die Wirklichkeit beweisen."
Mathematische Beweise beweisen keine Wirklichkeit, sondern mathematische Aussagen und zwar unter bestimmten Bedingungen. Es werden Axiome vorausgesetzt, deren Richtigkeit vorausgesetzt werden, um daraus in logischen Schritten Folgerungen anzustellen.

"Wie kann man beweisen/ zeigen, dass man die Prozente nacheinander verrechnen muss?"

Dir geht es um den Umgang mit Prozenten und dem Verstehen von Rechenregeln, nicht um Beweise. Ich glaube, es geht sogar noch mehr um ein Verständnis was Prozente sind.

Mit Prozenten beschreibst Du Anteile an einer Grundmenge. 90 % von 100 € sind 90 €.
Wenn Du Dir ein Handy für 100 € kaufen möchtest. Deine Oma übernimmt 10 % von der UVP, also 10€ und Deine Tante sagt danach, dass sie auch 10 % von der UVP also 10 € übernimmt, musst Du noch 80 % bezahlen, also 80 €. Du ziehst also 10 % und nochmal 10% also insgesamt 20 % der UVP ab.
Die Frage ist doch immer, auf welche Grundgesamtheit sich Deine Prozent beziehen. Wenn Du von 5000€ 10% abziehst hast du 4500€. Zählst Du da wieder 10% von 5000€ dazu, hast Du wieder 5000€. Zählst Du nur 10% von 4500€ wieder hinzu kommst Du auf 4950 €.

Bist Du damit einverstanden?

Stephan4

02:42 Uhr, 29.01.2016

Manchmal hilft auch, das Prozentrechnen einfacher darzustellen.

Aufpreis

20 %

bedeutet: Preis mal

1,20

Rabatt

10 %

bedeutet: Preis mal

0,90

5000

€

\cdot 1,20 \cdot 0,90 = 5000

€

\cdot 0,90 \cdot 1,20

Man sieht, die Reihenfolge der Multiplikation ändert nichts am Ergebnis.

Und als Antwort auf Deine Frage, warum das Ergebnis das selbe ist:
Weil sich nur die Reihenfolge der Multiplikation ändert.

:-)

supporter aktiv_icon

07:30 Uhr, 29.01.2016

Du hast

100

Äpfel und bekommst

20 %

dazu, damit hast du

120

Äpfel. Jetzt nimmt dir jemand

10

Prozent weg, damit bleiben dir noch

108

.

Du hast

100

Äpfel, jemand nimmt dir 10%,damit bleiben dir

90

. Jetzt gibt dir jemand

20 %

dazu, damit hast du wieder

108

.

Der Grundwert/Bezugbasis ändern sich jedesmal.Vllt. ist das dein Problem, über das du nachdenken nochmal solltest.

o0Julia0o aktiv_icon

20:37 Uhr, 29.01.2016

echt nett, dass ihr mir helft! Ich glaube, ich stehe eifnach ein wenig auf dem Schlauch. Aber wir kommen der Lösung näher :-)

@faloo: Ich bin mit deinen Aussagen einverstanden.

@ Stephan 4: Man kann aber auch den Dreisatz anwenden und hat keine Multiplikation, an der das so deutlich wird.

@ supporter: Ich verstehe schon, dass sich der Prozentwert ändert, wenn sich der Prozentsatz auf einen anderen Grundwert bezieht. Meine Frage ist allerdings, wie man erkennen soll, dass sich die Rabatte zum Beispiel auf einen anderen Grundwert beziehen, wenn nichts angegeben ist, sondern einfach zum Beispiel „10% Rabatt“ auf dem Gutschein steht.
Dein Beispiel und das von faloo verstehe ich ja, weil die Aktionen nacheinander stattfinden und sich somit der Grundwert geändert hat. Gehe ich aber mit 2 Rabatt-Gutscheinen zur Kasse, gelten diese gleichzeitig. Trotzdem kann man die Prozentangaben der Rabatte nicht

ein echt schönes Wochenende wünsche ich Allen!

Julia :-)

ledum aktiv_icon

16:35 Uhr, 30.01.2016

Hallo
was rechnet man denn
entweder

5000 \cdot 1,2 = 6000

dann

6000 \cdot 0,9 = 5400

oder

5000 \cdot 0,9 = 4500

dann

4500 \cdot 1,2 = 5400

was hat man insgesamt gerechnet_

5000 \cdot 1,2 \cdot 0,9 = 5000 \cdot 0,9 \cdot 1,2

da gilt einfach das Kommutativgesetz der Multiplikation.
du verwechselst das vielleicht mit dem was viele falsch machen:

25 %

Aufschlag und dann

25 %

Rabatt denken manche, dann hat man wieder den Orginalpreis denn

+ 25 % - 25 % = 0

was falsch ist
aber richtig ist

1,25 \cdot 0,75 = 0,9375

also weniger als der Anfang aber auch hier kann man erst

25 %

Abschlag und dann

25 %

Aufschlag rechen und bei

100

bekommt man immer

93,75

als Endpreis.
Gruß ledum

o0Julia0o aktiv_icon

14:06 Uhr, 31.01.2016

Danke. Man kann auch mit Dreisatz arbeiten:

100 % =

5000€

1 % =

5000/100=50€

120 % = 50 \cdot 120 =

6000€

100 % =

6000€

1 % =

6000/100=60€

90 % =

60*90=5400€

- \to

Da wird mir nicht ersichtlich, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt.

"25% Aufschlag und dann

25 %

Rabatt denken manche, dann hat man wieder den Orginalpreis denn +25%-25%=0"

- \to

Diese Dinge geschehen nacheinander. In diesen Fällen verstehe ich ja, dass die Prozente sich auf unterschiedliche Grundwerte beziehen und man somit die Prozentangaben nicht einfach zusammenrechnen kann.

Gehe ich aber mit 2 Rabatt-Gutscheinen zur Kasse, gelten diese gleichzeitig. Also sollten sie sich doch auch auf den gleichen Grundwert beziehen. Tun sie aber nicht. Und das verstehe ich eben nicht.

supporter aktiv_icon

14:17 Uhr, 31.01.2016

"Gehe ich aber mit 2 Rabatt-Gutscheinen zur Kasse, gelten diese gleichzeitig."

Wie meinst du das ? Kannst du den Sachverhalt etwas genauer schildern ? Wie funktionieren diese Rabattscheine. Bitte ein Beispiel.

o0Julia0o aktiv_icon

16:52 Uhr, 31.01.2016

Gerne. Wenn ich

z . B

. einen 5%-Rabatt-Gutschein und einen 10%-Rabatt-Gutschein habe und damit eine 50€ teure Hose bezahlen möchte, lege ich an der Kasse die beiden Rabatt-Gutscheine auf den Tresen und möchte beide gleichzeitig für den Kauf der Hose einlösen. Also möchte ich, dass beide Gutscheine auf den Preis der Hose angerechnet werden: also

15 %

Rabatt.

Was aber geschieht, ist, dass die Rabatte nacheinander berechnet werden, sodass ich im Endeffekt nur

14,5 %

Rabatt bekomme. Da verstehe ich nicht, warum die beiden Rabatte nacheinander berechnet werden - ich löse doch beide gleichzeitig ein...

und danke!

supporter aktiv_icon

17:39 Uhr, 31.01.2016

Offenbar dürfen Rabatte nicht zu einem Gesamtrabatt addiert werden. Das steht vermutlich in den AGB. Zudem gibt es sicher eine Rabattobergrenze. Frag einfach mal nach.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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