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Radioaktiver zerfall - Anfangswert

Schüler Förderschule, 8. Klassenstufe

Tags: radioaktiver zerfall

MatheNubybb aktiv_icon

03:34 Uhr, 04.06.2017

Hi! Könnt ihr mir sagen ob meine Rechnung stimmt und wie ich den Ausgangswert berechne?

Gegeben:

th=30,1 Jahre (Halbwertszeit)

a)

Stellen Sie die Zerfallfunktion für den expotentiellen Zerfall auf, lamda=ln(2)/th.

ALSO:

λ = \frac{ln (2)}{30,1} = 0,023

λ = 0,023

b)

Wieviel Zeit muss noch verstreichen, bis nur mehr

10 %

des Radionuklids vorhanden sind?

ALSO:

N (t) = N \cdot e^{- λ t \cdot}

0,1 N = N \cdot e^{- 0,023 \cdot t} \to N

Kürzt sich weg

0,1 = e^{- 0,023 \cdot t} \to ln

ln 0,1 = - 0,023 \cdot t \to ln e = 1

fällt also weg

\frac{ln 0,1}{- 0,023} = t

t = 100

Antwort: Es muss also noch

100

Jahre verstreichen bis nur noch

10 %

Radionuklid vorhanden sind.

nun kommen wir zu dem was ich nicht verstehe:

c)

Wie hoch müsste die Anfangsaktivität gewesen sein, wenn jetzt,

29

Jahre nach dem Erreignis, noch 25kBq/

m^{2}

gemessen werden?

Ich wäre so vorangegangen:

N (t) = N \cdot e^{- λ \cdot t}

25 = N \cdot e^{- 0,023 \cdot 29}

N = \frac{25}{e^{- 0,023 \cdot 29}}

N = 48,71

HM... ich wueste vorhin nicht wie ich ein bruch Logarithmiere.. stellte sich jetzt heraus, dass ich es garnicht muss^^ es wäre aber trotzdem nett wenn mir einer mal sagen könnte, ob das überhaupt möglich ist.

Wäre die Rechnung grundsätzlich richtig oder lieg ich total daneben?

Ich bedanke mich in Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

supporter aktiv_icon

07:16 Uhr, 04.06.2017

Alles korrekt. :-)

Roman-22

09:47 Uhr, 04.06.2017

>

ich wueste vorhin nicht wie ich ein bruch Logarithmiere.. stellte sich jetzt heraus, dass ich es garnicht muss^^ es wäre aber trotzdem nett wenn mir einer mal sagen könnte, ob das überhaupt möglich ist.

Warum sollte das nicht möglich sein?

Die Regel

log (\frac{a}{b}) = log (a) - log (b)

hast du doch sicher schon gelernt und sie gilt für jeden Logarithmus, also auch für den natürlichen.

MatheNubybb aktiv_icon

11:16 Uhr, 04.06.2017

Ja das hab ich gelernt^^ nur es war ja so:

z . B :

\frac{25}{e^{- λ \cdot t}}

Und ich wusste eben nicht wie man das logarithmiert^^

Und danke für die schnellen Antwort

ledum aktiv_icon

13:05 Uhr, 04.06.2017

Hallo
hier wäre besser

\frac{25}{e^{- (λ \cdot t)}} = 25 \cdot e^{λ \cdot t}

zu schreiben, aber natürlich geht es auch mit der Regel für Quotienten.
Gruß ledum

anonymous

13:47 Uhr, 04.06.2017

Hallo
Wäre ich strenger Korrektor, dann würde ich zu

a)

rückfragen:
Wie lautet denn nun die Zerfallfunktion für den exponentiellen Zerfall?

MatheNubybb aktiv_icon

14:17 Uhr, 04.06.2017

Danke für die Frage, hilft mir sicher näher zu verstehen

〈

Stimmt es:

N (t) = N \cdot e^{- 0,023 \cdot t}

? Damit könnte ich ja praktisch alles berechnen oder nicht?

ledum aktiv_icon

16:43 Uhr, 04.06.2017

richtig, wenn noch statt

N

N (0)

steht.
Gruß ledum

anonymous

22:48 Uhr, 04.06.2017

...und perfekt, wenn du noch die Einheiten dazu nähmst:

N (t) = N_{0} \cdot e^{- 0.02303 \cdot \frac{t}{a}}

MatheNubybb aktiv_icon

23:04 Uhr, 04.06.2017

Vielen Dank euch alle nochmal!

Ich verstehe da nicht ganz:

Was bedeutet

\frac{t}{a}

? Und wie verwendet man es nun? Das hab ich nicht gelernt und wir sind eig schon durch mit dem Stoff

\frac{:}{}

Und ich möchte gerne noch Eine Rechnung hinzufügen um sicher zu gehen, dass ich wirklich alles verstanden habe:

Gegeben ist:
Anfangswert:

250

Halbwertszeit von 6 Stunden

Gesucht ist: wieviel nach 2 Tage noch übrig ist.

Erst einmal

λ

ausrechnen:

λ = \frac{ln (2)}{t}

λ = \frac{ln (2)}{6}

λ = 0,116

So und jetzt setze ich alles was ich weiß in meinem Formel:

N (t) = 250 \cdot e^{- 0,116 \cdot 48}

)->2Tage=48St

N (t) = 0,955

Es sind also nach 2 Tagen noch

0,955

KB übrig.

Ist die Rechnung soweit korrekt? Und wie setze ich dann ein, wenn die das

e^{- λ \cdot \frac{t}{a}}

habe?

Soweit ich weiß ist

a \to 1 -

oder

+ %

anonymous

23:10 Uhr, 04.06.2017

Das "a" ist die übliche Einheit für das Jahr (lateinisch:

a \cap o)

MatheNubybb aktiv_icon

23:15 Uhr, 04.06.2017

Das Jahr ist doch die Zeit? Also

t

?

Es gibt ja eine weitere Formel:

N (t) = N (0) \cdot a^{t}

Das a ist dann bei Zerfall:

a - \frac{%}{100}

anonymous

23:20 Uhr, 04.06.2017

Die Zeit ist die Größe.
Und die hat viele Einheiten,

z . B . :

s

(Sekunde)

min

(Minute)

h

(Stunde)

d

(Tag)
(Woche, da kenne ich ehrlicherweise keine übliche Abkürzung für)
(Monat, da kenne ich ehrlicherweise keine übliche Abkürzung für)
und eben
a (Jahr)

So wie eben die Größe 'Länge'.
Und die hat viele Einheiten,

z . B . :

m

(Meter)
A (Angström)
inch (Zoll)
Lj (Lichtjahr)

. .

MatheNubybb aktiv_icon

23:23 Uhr, 04.06.2017

Achso!! hat mich irritiert mit a sry^^

Dachte häbt mit dem a von der Formel zusammen

Danke euch allen

〈

da du nichts zu meiner Rechnung gesagt hast, nehme ich einfach an, dass es korrekt war

Danke noxhmal

Roman-22

23:39 Uhr, 04.06.2017

>

Was bedeutet

\frac{t}{a}

?
Das a steht für die Zeiteinheit "Jahre" und gehört im Grunde zur Konstanten

λ!

Da hattest ja, jetzt mit Einheiten (ich schreib die Einheit Jahre jetzt einfach aus),

λ = \frac{ln (2)}{31,1 J a h r e} \approx 0,0230281 \cdot \frac{1}{J a h r e}

Dieses

λ

ist also keine dimensionslose Größe, sondern hat die Dimension 1/Zeit.

Du hättest ja die

30,1

Jahre auch in Monate umrechnen können

(\to 361,2

Monate) und würdest dann auf

λ \approx 0,00191901 \cdot \frac{1}{M o n a t e}

kommen.
Das würde nur dann geschickt sein, wenn deine Aufgabe mit Zeiten, die bereits in der Einheit Monate gegeben sind, hantieren würde. Aber richtig wäre es auch - wenn

t

in Jahren gegeben ist müsste man es dann eben immer in Monate umrechnen.
Ihr habt vermutlich im Unterricht einfach dazu gesagt, dass

t

jetzt in dieser oder jener Einheit gemessen werden muss (und nur die Maßzahl ohne Einheit in die Formel eingesetzt werden darf).

>

Es gibt ja eine weitere Formel:

> N (t) = N (0) \cdot a^{t}

Das ist eine besonders problematische Formel, da es, bei Verwendung von Einheiten, dieses

a

eigentlich nicht gibt. Bei dir wäre ja

a = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{30,1}}

und mit der Einheit bei den

30,1

ist dieser Ausdruck nicht korrekt berechenbar.

Sinnvoller wäre die Schreibweise

N (t) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{30,1 J a h r e}} = 2^{- \frac{t}{30,1 J a h r e}}

. Das ist genau die gleiche Funktion wie dein

N (t) = N (0) \cdot e^{- 0,0230281 ... \cdot \frac{t}{J a h r e}},

nur dass du sie mit deinen Angabestücken sofort und auch noch exakt ohne runden zu müssen hinschreiben kannst ;-)

Was deine zweite Rechnung anlangt, so zeigt sich hier der Fluch des Rundens! Du solltest immer mit möglichst genauen Werten im TR Speicher weiter rechnen. Dadurch, dass du den Wert von

λ

nur grob gerundet verwendet hast, ist dein Endergebnis sehr ungenau. Statt

0,955

sollten es in Wirklichkeit

0,977

sein!
Dein Rechnenweg ist aber OK.
Sicherer wäre auch hier gewesen direkt

N (2 T a g e) = 250 \cdot 2^{- \frac{2 T a g e}{6 S t u n d e n}} = 250 \cdot 2^{- \frac{48 S t u n d e n}{6 S t u n d e n}} = 250 \cdot 2^{- 8} = \frac{250}{256} = \frac{125}{128} = 0,9765625

zu verwenden.

MatheNubybb aktiv_icon

00:26 Uhr, 05.06.2017

Danke Roman für deine ausführliche Antwort

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