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Rand, Innere und Abschluss der Mengen
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengenlehre, Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo zusammen, die Aufgabe habe ich als Bild hinzugefügt. Als erstes möchte ich erstmal verstehen, wie ich mir das ganze vorstellen kann. A ist ja die Vereinigung von und den natürlichen Zahlen. Was genau sagt mir eigentlich die Schreibweise der Klammern? Das es bei offen ist und bei abgeschlossen?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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" Das es bei −π offen ist und bei π abgeschlossen? " Ja. |
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Was heißt das für die Vereinigung mit den natürlichen Zahlen? Der Rand kann ja irgendwie von meiner Vorstellung aus nur sein da die natürlichen Zahlen ja bis gehen |
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anonymous 13:12 Uhr, 10.05.2014 |
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Mach dir doch einfach nochmal klar, was die Vereinigung zweier Mengen ist. Darin sind genau die Elemente vorhanden, die zumindest in einer Menge vorhanden sind. Die Vereinigung enthält also sowohl alle natürlichen Zahlen, als auch alle reellen Zahlen von (ausgeschlossen) bis (eingeschlossen). So ist beispielsweise in der Vereinigung, da . ist in der Vereinigung, da . ist nicht in der Vereinigung, da weder in noch in enthalten ist. Ich habe dir blau auf einem Zahlenstrahl markiert. Siehe: angehängtes Bild Der Rand ist nicht nur . Da gehört noch mehr zum Rand. Überlege dir nochmal, was es bedeutet, wenn ein Punkt im Rand einer Menge liegt.  |
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ist in der Vereinigung da ? hast du dich da verschrieben? oder versteh ich jetzt etwas grundlegend nicht.^^ Ansonsten schon mal Danke |
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anonymous 13:56 Uhr, 10.05.2014 |
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Da habe ich mich verschrieben. Es sollte lauten: ist in der Vereinigung, da . |
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Also ein Randpunkt ist doch ein Punkt zum Beispiel von wenn der offene Ball um sowohl mit A als auch mit einen nichtleeren Schnitt besitzt. Und wenn ich jetzt prüfen will ob ein Randpunkt ist setze ich doch und will zeigen, dass und . Ist das soweit ok? Wie gehts denn dann weiter? |
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Weiter betrachte folgende Punkte: und . Einer davon ist in , der andere nicht in . Und beide in der -Umgebung von . |
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liegt nicht in A aber liegt in A und beide liegen ja dann in kann ich daraus denn jetzt was folgern oder fehlt noch was |
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Es fehlt nichts. Weil beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus, dass zum Rand gehört. |
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Ok danke erstmal :-) Mir kam das jetzt so verdächtig einfach vor in dem Punkt, deswegen war ich unsicher. So, wenn ich jetzt betrachte sieht das ja irgendwie anders aus. Wenn mein jetzt zum Beispiel genau so groß ist wie wäre ja und somit in A enthalten. wäre auch in A. Wenn ich das dann mit betrachte wäre ja nur enthalten. Naja ok wenn beliebig klein ist wäre ja auch ein randpunkt. Wenn aber das so groß ist dass es mit oder auf eine natürliche Zahl wie 4,5,6...kommt wäre das ja alles in A enthalten und somit kein Rand vorhanden oder wie ist das? |
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Große Werte von spielen keine Rolle, Du kannst sie außer Acht lassen. Es gilt Folgendes: genau dann, wenn für alle gilt: und . Also, die Aussage muss nur für mit irgendeinem gelten, nicht für alle möglichen . |
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Also, für geht es eigentlich genauso wie für : liegt in und liegt nicht in , wenn gewählt wird (z.B.) |
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Achso ok. Dann ist der Rand also Das Innere ist ja dann einfach und der Abschluss Wie schreibt man das jetzt auf bzw wie sieht das aus? Ist und ? macht aber irgendwie ja keinen sinn oder müsste es dann weil diese ja inner halb des Randes sind |
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Nein, der Rand ist größer. Z.B. gehört auch zum Rand. |
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kann gar nicht sein, denn immer eine offene Menge ist. |
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Ich versteh nicht wie zum Rand gehören kann. Dann müssen ja alle zum rand gehören also |
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Sorry, habe Quatsch geschrieben, ich meinte natürlich, dass zum Rand gehört. Der Rand ist |
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Ok aber die negativen Zahlen können ja eigentlich nicht darin enthalten sein da ja ab 1 losgeht |
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Ja, wieder mein Fehler. :-) Also, = |
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Das machst du nur um zu gucken ob ich aufpasse ;-) Ok wie siehts denn jetzt mit dem Inneren und dem Abschluss aus. Ich kann mir das immer alles so schwer vorstellen. Das innere ist ja A ohne den Rand aber irgendwie bleibt da ja nicht viel Übrig und der Abschluss ist A vereinigt mit dem Rand aber alles was im Rand ist ist ja eigentlich auch in A |
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Für den Abschluss können einfach die Formel nutzen. Es ist . Und für das Innere nutzen die Formel . Es kommt raus. Wie gesagt, es muss eine offene Menge sein. |
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Klar, ich hatte mir da die Formel wohl falsch notiert. versuch ich für erste alleine und schreib nachher meine Lösung hier rein Danke nochmal für die Hilfe und bis später vielleicht :-) |
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Da bin ich wieder :-) Ok bei haben wir ja das abgeschlossene Intervall Wie kann man sich das denn jetzt wieder vorstellen. Ich weiß in einem offenen Intervall gibt es rationale wie auch irrationale Zahlen. Wie sieht das denn im abgeschlossenen Intervall aus? |
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Es gilt , weil jede reelle Zahl beliebig mit rationalen approximiert werden kann. Damit ist zwangsläufig auch . |
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Sorry die Seite war gestern irgendwie kaum noch aufrufbar, Wenn der Ablschluss müsste ja auch der Rand sein oder? Nach Def. im Buch ist ist das innere dann die ? |
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Es gilt zwar , aber nicht . Richtig ist und . |
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Ok ich habs jetzt soweit. Vielen Dank für die Hilfe :-) |
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