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Randverhalten berechnen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: MATH, Mathematik, Randverhalten, Randverhaltenberechnen
 
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Hallo also unsere Lehrerin hat uns eine Übungsaufgabe gegeben für die nächste Klausur bei der wir das Randverhalten bestimmen müssen. Die Funktion lautet: Ich hab dchon im Intenet geckugt und irgendwie gelesen, dass man nur die höchste Hochzahl nehmen muss also irgendwie1/9x^4 aber irgendwie hab ich keine Ahnung wie ich weiter machen muss. Kann mir das irgendjemand erklären? LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Unter dem Randverhalten versteht man das Verhalten der Funktion für Zahlenwerte die gegen Unendlich streben. Dieses Verhalten wird für Werte, die im negativen und im positiven Bereich der x-Achse liegen untersucht. Man kann versuchen, den Term auszuklammern und dann die Werte der jeweiligen Terme in der Klammer zu betrachten wenn die Variable gegen Unendlich strebt. Die Funktion lautet dann . Wird in diese Funktion für die Variable ein negativer Wert eingesetzt, erhält man für den jeweiligen Term einen positiven Wert. Die Funktion ist demnach symmetrisch zur y-Achse. Man erkennt, dass der Wert des zweiten und dritten Terms gegen Null strebt wenn ein unendlicher positiver oder negativer Zahlenwert eingesetzt wird. Somit bleibt in der Klammer nur noch der Term übrig. Aus dem Term erkennt man, dass für unendlich große Werte, ganz gleich ob positives oder negatives Vorzeichen, der Funktionswert gegen Unendlich strebt. Die y-Achse kann unter Umständen auch als Randbedingung betrachtet werden. So wie man den Funktionswert für unendlich große Werte auf der x-Achse im positiven oder negativen Bereich betrachten kann, ist dies auch in einem anderen Intervall möglich. Dazu wird der Funktionswert betrachtet, wenn der Wert der Variablen gegen Null strebt. Man kann sich bei den x-Werten von der positiven Seite oder der negativen Seite der x-Achse annähern. In die einzelnen Terme der Funktion wird für die Variable ein Zahlenwert in der Nähe von 0 eingesetzt. Strebt der Wert der Variable gegen Null und hat dabei ein positives Vorzeichen, dann strebt der Wert des ersten Terms gegen Null. Der zweite Term strebt ebenfalls gegen Null. Übrig bleibt noch der letzte Term, welcher den Zahlenwert 8 hat. Somit hat die Funktion für den Funktionswert 8. Dieses Verfahren wird bei gebrochenrationalen Funktionen, wo die Variable im Nenner des Bruches steht, angewendet. Bei ganzrationalen Funktionen, zu denen diese betrachtete Funktion gehört, kann auch für die Variable der Zahlenwert 0 eingesetzt werden und die Gleichung gelöst werden. Die hier gegebene ganzrationale Funktion strebt für große Zahlenwerte der Variable gegen Unendlich. Die Aufgabe kann auch ohne Ausklammern gelöst werden, da man durch genaues Betrachten der Faktoren das Verhalten der Funktion erkennt. Eine Werte-Tabelle kann bei der Argumentation des Funktionsverlaufs hilfreich sein. Viele Grüße Christian Bauer |
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