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Randverteilungen bestimmen

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Zufallsvariablen

Tags: Randverteilung, Zufallsvariablen

Fisch18 aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.12.2024

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Es seien X und Y zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsmassefunktion

p_{x, y} (j, k) = C \frac{j + k γ^{j + k}}{j! k!}

, mit

j, k \geq 0

und

γ, C \geq 0

.
a) Bestimme die Randverteilungen

p_{X}

und

p_{Y}

b) Bestimme

C

.
c) Sind

X

und

Y

unabhängig?
d) Es sei

Z = X + Y

, bestimme

p_{z} (r)

?
e) Bestimme

E (X)

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

17:34 Uhr, 12.12.2024

p_{X} (j) = C \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{j + k \cdot γ^{j + k}}{j! k!}

und vereinfachen.

p_{Y} (k) = C \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{j + k \cdot γ^{j + k}}{j! k!}

und vereinfachen.

b) Über

1 \overset{!}{=} \sum_{j = 0}^{\infty} p_{X} (j)

(und wieder vereinfachen) kann man

C

bestimmen.

c) Mit dem Ergebnis aus a) prüfen, ob für alle

j, k \in ℕ_{0}

die Gleichung

p_{X, Y} (j, k) = p_{X} (j) \cdot p_{Y} (k)

gilt.

Im Negativfall genügt natürlich die Angabe eines einzigen Paares

(j, k)

, wo diese Gleichung nicht gilt.

Achtung: Die Antwort ist möglicherweise vom Parameterwert

γ

abhängig, d.h., für manche

γ

liegt Unabhängigkeit vor, für andere nicht...

d) Für

Z = X + Y

bekommt man die Faltungsverteilung

p_{Z} (r) = \sum_{k = 0}^{r} p_{X, Y} (r - k, k)

und vereinfachen

e)

E (X) = \sum_{j = 0}^{\infty} j \cdot p_{X} (j)

und vereinfachen.

Die meisten angesprochenen Vereinfachungen basieren auf der Exponentialreihe

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{t^{i}}{i!} = e^{t}

, für passend gewählte

t

jeweils.

Bei d) hilft auch noch der binomische Satz

\sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{(n - k)! k!} \cdot x^{n - k} y^{k} = {(x + y)}^{n}

mit passend gewählten

n, x, y

.

---------------------------------------------------

Ok, den ersten Teil von a) rechne ich mal vor:

p_{X} (j) = C \cdot [\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{j}{j! k!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k \cdot γ^{j + k}}{j! k!}] = \frac{C}{j!} \cdot [j \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} + γ^{j + 1} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{γ^{k - 1}}{(k - 1)!}] = \frac{C}{j!} \cdot [j \cdot e + γ^{j + 1} \cdot e^{γ}]

Fisch18 aktiv_icon

14:30 Uhr, 13.12.2024

Sorry für die verspätetete Antwort. Vielen Dank für die Tipps, den Rest mach ich.

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