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Rang A = größte quadratische Teilmatrix, beweis
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Matrizenrechnung
Tags: Determinanten, Matrizenrechnung
 
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Seien ein Körper und natürliche Zahlen. Sei eine Matrix aus . Zeigen Sie : Rang ist die größte natürliche Zahl so dass die Matrix A eine quadratische Teilmatrix mit Reihen und mit Det enthält. Also ich weiß nicht wirklich wie ich das beweisen soll. Ich finde es ist ja irgendwie klar:-). Für den Rang gilt ja Zeilenrang=Spaltenrang und da bei einer Matrix A el nunmal entweder mehr Zeilen oder Spalten vorhanden sind, ist der "kleinere Wert" der Rang (vorrausgesetzt lineare unabhängigkeit). Die lineare Unabhängigkeit könnte man dann vermutlich aus Det schlussfolgern. mfg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Torben, um das nicht unnötig overdozed zu beantworten, wäre es hilfreich zu wissen, wie ihr den Rang einer Matrix definiert habt. Mfg MIchael |
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Alles klar. Der Rang kommt in ziemlich vielen Definitionen vor, ich hoffe mal, dass die mir hier am besten erscheinende hilft. Sei ein endlichdim. K-Vektorraum mit basis b1,...,bn. Sei v1,...,vm ein m-Tupel von Vektoren aus V. Dann lässt sich v1,...,vm duch Anwendung elementarer Umformungen und ggf. nach geeigneter Umnumerierung der Basis b1,...,bn in ein m-Tupel v1´,...,vm´ überführen, welches bzgl. b1,...,bn eine Koordinatenmatrix der Form besitzt. Es gilt ferner Rang v1,...,vm Wobei bei der Matrix oben, die letzte Zeile in der eine 1 vorkommt mit beschriftet ist. |
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Das ist wahrscheinlich eher ein Satz über den Rang als seine Definition |
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Das stimmt ich bitte dies zu entschuldigen. Also dann hoffe ich dieser kann weiter helfen: Sei el Seien u1,...,un el die spaltenvektoren und w1,...,wm ek die Zeilenvektoren in A. Dann heißt Rang (u1,...,un) Spaltenrang und Rang (w1,...wm) Zeilenrang in A. Zeilen und Spaltenrang sind bei elementaren Zeilenumformungen invariant. Dem hinzuzufügen ist dann vermutlich noch die vorhergehende Definition: Sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Sei F=v1,...,vm eine Familie von Vektoren aus V. hat den Rang der aus erzeugte Unterraum <v1,...,vm> hat die Dimension . |
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So, jetzt wird die Aufgaba ja ganz einfach. Wenn A ein Matrix vom Rang ist, dann gibt es also Zeilen, die linear unabhängig sind (weil man eine Basis aus dem Erzeugendensystem auswählen kann). Löscht man alle anderen Zeilen, erhält man eine Matrix. Diese hat wieder den (Zeilen-)Rang also auch Spaltenrang also gibt es linear unabhängige Spalten. Löscht man die übrigen Spalten, erhält man also eine Matrix B. Da wiederum Rang hat, ist invertierbar, hat also Determinante . Ist andererseits eine Untermatrix von A mit so sind die Zeilen von linear unabhängig, erst recht sind die entsprechenden Zeilen von A linear unabhängig, also rang |
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