 |
 |
 |
 |
 |
 |
Rang, Bild, Kern etc.
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Lineare Abbildungen
 
|
  |
|---|
|
Hallo, hätte mal n paar fragen zu linearen abbildungen. also mein verständnis davon ist, dass man n vektor reinhaut und es kommt ein anderer raus, hoffe das stimmt so weit. zB. sowas: phi(x,y,z) = (2x,z+2y,7z) so die matrix davon zu basteln bekomm ich auch noch hin, das dürfte in dem fall 2 0 0 0 2 1 0 0 7 sein die dimension wäre da wohl 3, weil die zeilenvektoren alle linear unabhängig sind (hoffe das stimmt so weit, willkürlich gewähltes beispiel) der kern wäre in dem fall wohl (1,1,1), weil dass der vektor ist der rauskommt wenn man auf den nullvektor abbildet. (bin ich noch im rennen? :D) jetzt bin ich mir nichtmehr sicher, das bild sollte (laut infos die ich bekommen habe) aus den spaltenvektoren der matrix bestehen natürlich fallen die die linear abhängig sind weg (also kein (0,0,2) und (0,0,1) zusammen in der folge) (2,0,0),(0,2,1),(0,0,7) aber ich bin mir da nich mehr so sicher und beim rang hörts eh auf :\ any tipps? :) |
|
 |
|
also deine matrix ist richtig.
die dimension ist 3, da du 3 zeilen hast. egal ob l. a. oder l.u. weil wenn du dir einen vektor anschaust zb (1,1,1) hat der auch die dimension 3. wobei man eigentlich nicht von dimension einer matrix an sich spricht. man trifft eigentlich nur aussagen über die dimension des bildes von A und dimension des kerns von A. (also dim bild A und dim ker A) jetzt ist der rang von a (also rg A) die anzahl der l.u. zeilenvektoren (bzw spaltenvektoren). um den rang zu bestimmen bringste die matrix auf zeilenstufenform (durch zeilen- oder spaltenoperationen). und die anzahl deiner stufen von oben nach unten ist dann dein rang. (nullzeilen zählen hierbei logischerweise nicht als stufen) der rang wiederum ist nichts anderes als die dimension des bildes von A also: dim bild A = rg A in deinem fall ist der rang von A = 3, da du 3 l.u. zeilenvektoren (bzw spaltenvektoren) hast. der kern einer matrix ist wie du bereits richtig erwähnt hast der spann der vektoren, die die matrix auf den nullvektor abbilden. du hast das allerdings leider nicht richtig gemacht. was du machen musst ist die matrix in eine obere (bzw untere) dreiecksform umzuformen. das brauchste hier nichtmehr, da du die lösung ablesen kannst. der 3. eintrag muss 0 sein, da 7x3=0. der erste eintrag muss 0 sein, da 2x1=0 und x3 in die 2. zeile eingesetzt liefert dir 2x2=0, also ist x2 auch null. damit lost das nur der nullvektor, weshalb du keinen kernvektor bekommst. und da die anzahl der kernvektoren dir die dimension des kernes (dim ker A) angibt, ist dim ker A in dem fall gleich null. wegen der dimensionsformel hättest du auch gleich sagen können, dass die dimension null sein muss, denn es gilt: dim ker A = dim A - dim bild A (also dim ker A = anzahl der zeilen - rg A) und da du 3 zeilen hast und der rang 3 ist gilt für die dimension des kernen: dim ker A = 3-3=0
empfehlen könnte ich dir "das gelbe rechenbuch" band 1-3, wobei die lineare algebra sich auf band 1 beschränkt. kostnpunkt: 14,90 pro band. homepage inklusive leseproben: www.das-gelbe-rechenbuch.de eine leseprobe aus der linearen algebra ist zb das kapitel über die eigenwerte und eigenvektoren. auch gut für die lineare algebra ist das buch von gerd fischer vom vieweg verlag. steht viel drin, viele stichwörter, aber etwas gewöhnungsbedürftig. da ist das gelbe rechenbuch viel verständlicher geschrieben. |
|
|
|
Hallo akaii, als Ergänzung zur Antwort von Sebastian möchte ich einige Anmerkungen treffen. "also mein verständnis davon ist, dass man n vektor reinhaut und es kommt ein anderer raus" Anm.: Das gilt für jede Abbildung zwischen Vektorräumen. Bei linearen Abbildungen sind zusätzliche Bedingungen erfüllt. "die dimension wäre da wohl 3" Anm.: Wenn von Dimension die Rede ist, sollte stets der betrachtete VR genannt werden, um die getroffene Aussage überprüfen zu können. Deinen Ausführungen ist wohl zu entnehmen, dass Du als VR das Bild der Abbildung meinst. Sebastian hat es schon anders aufgefasst; er geht vom ZielVR aus. Die Aussage, dass (1,1,1) die Dimension 3 hat, ist natürlich Unfug. Es handelt sich um ein Element in einem 3-dim. VR. "der kern wäre in dem fall wohl (1,1,1)" Anm.: Kern und Bild von linearen Abbildungen sind UVR; um sie konkret angeben zu können benötigt man i.d.R. jeweils eine Basis. In Deinem speziellen Fall ist ja der Kern der Abbildung gleich {0} und das Bild gleich R^3 (wenn ich davon ausgehen darf, dass Du jeweils R^3 als VR gewählt hast). Überlege Dir noch ein Beispiel mit drei linear abhängigen Vektoren, damit Du gezwungen bist, jeweils eine konkrete Basis von Kern und Bild zu ermitteln. "weshalb du keinen kernvektor bekommst" (@Sebastian) Anm.: Der Nullvektor ist immer ein "Kernvektor"!!! "und da die anzahl der kernvektoren dir die dimension des kernes (dim ker A) angibt" (@Sebastian) Anm.: Die Länge einer Basis des Kerns ist wohl hier gemeint; wenn der Kern nicht {0} ist, dann gibt es i.d.R. unendlich viele "Kernvektoren" (char(K) = 0). Gruß Rentnerin |
 |
|
was ist eine basis und warum hat sie eine länge? ok also kommt als kern immer was in der richtung raus: (0,0,0) oder (0,0,n) oder (0,n,0) oder (0,n,m) etc. wenn ich das jetzt richtig verstanden hab is das immer 0 ausser wenn in ner zeile 0=0 steht statt xn = 0 ? war das bild richtig, bei mir? oder wie berechnet man das? :) |
|
|
|
Eine Basis {v_1,...,v_n} eines VR oder UVR ist eine Menge von Vektoren aus dem VR oder dem UVR mit den Eigenschaften: i) v_1,...,v_n sind linear unabhängig, ii) jeder Vektor v des VR oder UVR läßt sich als Linearkombination der v_1,...,v_n darstellen. Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines VR oder UVR. In der Linearen Algebra wird gezeigt, dass zwei Basen dieselbe Anzahl von Elementen (Vektoren!) besitzen; diese Anzahl (in obigem Beispiel n) wird Länge der Basis oder Dimension des VR bzw. UVR genannt. Im R^3 gibt es natürlich die (kanonische) Basis {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Aber jedes andere linear unabhängige Vektortripel ist ebenfalls eine Basis. Die Dich interessierenden Objekte Kern und Bild einer linearen Abbildung sind Untervektorräume UVR des (der Einfachheit halber) R^3. Diese UVR können entsprechend ihrer Dimension eingeteilt werden: n=0: {0} nur der Nullvektor, n=1: alle Geraden durch den Ursprung, n=2: alle Ebenen, die den Ursprung enthalten und n=3: R^3. Die Fälle mit den Dimensionen 0 und 3 sind trivial zu beschreiben; ein UVR mit der Dimension 1 bzw. 2 wird durch Angabe einer Basis beschrieben; deshalb habe ich Dir empfohlen, eine Abbildung zu untersuchen, die nicht vollen Rang hat. Eine Basis des Kerns erhältst Du durch Lösen des Gleichungssystems A * x = 0, wenn die Matrix A die Abbildung bzgl. einer Basis darstellt. Damit muss Dein Kern nicht unbedingt aus Vektoren bestehen, die auf mindestens einer Komponente verschwinden (also 0 stehen haben). Er besteht vielmehr aus aller Linearkombinationen einer Basis aus dem Kern. Eine Basis des Bildes erhältst Du dadurch, dass Du aus allen Bildvektoren eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren herausgreifst. Gruß Rentnerin |
|
|
| das heißt, wenn ich von einem R^3 auf einen R^2 abbilden würde, hätte ich nurnoch zwei vektoren als bild? |
|
|
|
Nein, du hast i.d.R. unendlich viele Vektoren als Bild. Also Vorsicht: Jede Abbildung F : R^3 ---> R^2, (x_1,x_2,x_3) |---> F(x_1,x_2,x_3) = (F_1(x_1,x_2,x_3),F_2(x_1,x_2,x_3)) liefert für jeden der unendlich vielen Vektoren aus R^3 jeweils einen Vektor aus dem R^2; die Zuordnungsvorschrift kann dabei sehr kompliziert sein. Anders ist es bei linearen Abbildungen. Hier reicht bereits die Kenntnis über die Bildvektoren einer beliebigen Basis des Ausgangsvektorraums aus. Wegen der Linearitätseigenschaften der Abbildung ist damit der Bildvektor jedes einzelnen Vektors festgelegt. In Deinem Fall mit L : R^3 ---> R^2 nimmst Du eine Basis von R^3 (also z.B. die kanonische Basis {e_1,e_2,e_3}) und bestimmst deren Bilder; es sind natürlich drei Bilder und nicht zwei, wie Du vermutet hast. Diese drei Bilder können im R^2 nicht linear unabhängig sein. Für die Ermittlung einer Basis des Bildes der Abbildung lässt Du zunächst einen der drei Bildvektoren weg, der sich als Linearkombination der beiden anderen schreiben lässt. Sind dann die beiden anderen linear unabhängig, dann bilden sie eine Basis des Bildes der Abbildung (in diesem Fall ist der gesamte R^2 das Bild). Andernfalls sind sie linear abhängig und Du lässt wieder einen weg, der sich als Vielfaches vom anderen schreiben lässt. Dann bleibt noch einer übrig. Ist dieser von 0 verschieden, dann bildet er eine Basis des Bildes. Ist er 0, dann ist auch das Bild der UVR {0}. Der Kern einer solchen Abbildung L muss übrigens aus mehr als {0} bestehen. Gruß Rentnerin |
|
|
|
hu? also 3 bilder, mindestens zwei davon linear abhängig also fällt eins weg. das macht doch dann aber wieder 2? oder sind 3 bilder "das bild" und die 2 linear unabhängigen dann "die basis des bildes"? |
|
|
|
Die drei Bildvektoren ergeben ein Erzeugendensystem von Im(L) (Bildraum der Linearen Abbildung L). Du hast zunächst drei Bildvektoren (stelle Dir die Situation L : R^3 ---> R^5 vor, dann hast Du auch drei Bildvektoren und nicht fünf!). Richtig ist, dass Im(L) genau aus den Linearkombinationen der "drei" Bildvektoren besteht. Wie man aber auch einen ungekürzten Bruch nicht als Endergebnis stehen lässt, "kürzt" Du Dein Erzeugendensystem von Im(L) so lange zusammen, bis daraus eine Basis entsteht. Dann darfst Du aufhören. |
|
|
|
war der ansatz mit der matrix dann richtig oder falsch? weil da hatte ich ja so zu sagen 3 vektoren raus (nur nich gekürzt) |
|
|
|
Der Ansatz mit der Matrix war völlig richtig. Du beschreibst die lineare Abbildung phi mit der Matrix, die zur kanonischen Basis {e_1,e_2,e_3} gehört mit e_1 = (1,0,0) u.s.w. Das Bild von e_1 ist b_1 = (2,0,0); entsprechend ist b_2 = (0,2,0) und b_3 = (0,1,7). Diese drei Bilder werden senkrecht nebeneinander in der vorgegebenen Reihenfolge hingeschrieben und ergeben die Matrix. Weil aber diese drei Vektoren bereits linear unabhängig sind, brauchst Du nicht mehr kürzen. Dein Bild Im(phi) ist der UVR im R^3, der von der Basis {b_1,b_2,b_3} erzeugt wird und das ist ganz R^3. Du hättest Dir besser noch ein Beispiel gesucht, in dem b_1,b_2,b_3 linear abhängig sind; dann kannst Du es besser verstehen. |
|
|
|
phi(x,y,z) = (x+4z,y,y) da wär die matrix 1 0 4 0 1 0 0 1 0 und das bild (1,0,0) (0,1,0) da (4,0,0) weg gekürzt wird |
|
|
|
Jetzt nur noch das Ergebnis formal richtig (die etwas flapsige Ausdrucksweise "Kürzen bei einem Erzeugendensystem" wieder weglassen) machen, dann hast Du Dein Bild: Im(phi) ist der UVR des R^3, der von {(1,0,0),(0,1,1)} erzeugt wird. Dieser kann auch geschrieben werden als Im(phi) = {v aus R^3|v = m * (1,0,0) + n * (0,1,1) mit reellen Zahlen m und n}. Dein zweiter Vektor muss (0,1,1) und nicht (0,1,0) sein. Im(phi) ist also eine (schräg im R^3 liegende) Ebene im ZielVR Jetzt kannst Du noch den Kern im AusgangsVR berechnen. |
|
|
|
oh ja (0,1,1) tippfehler :D hm beim kern bekomm ich raus x=4z y=0 0=0 wie äussert sich das? ker(phi) = 4*(z,0) würd ich vermuten |
|
|
|
thx für die korrektur @rentnerin. bin selbst noch dabei das zu verdauen, da ist die mathematisch korrekte ausdrucksweise noch nicht gegeben... |
|
|
|
Nein, beim Kern musst Du das System 0 = x + 4 * z 0 = y 0 = y lösen. Dies wird z.B. von (4,0,-1) und jedem Vielfachen davon gelöst. Weitere Lösungen hat das System nicht; damit gilt: Ker(phi) = {u aus R^3|u = m * (4,0,-1) mit reellem m} (Ursprungsgerade). |
|
|
|
achso also einfach gaus, dann in die variablen einsetzen dass es passt und fertig is der kern? bei 4 2 1 0 0 2 0 0 1 wär das dann 4 2 0 0 0 1 0 0 1 4x + 2y = 0 z = 0 z = 0 (-1,2,0) ? |
|
|
|
Korrekt! Falls es noch Fragen gibt, kann ich die ab heute Abend ggf. beantworten. Gruß Rentnerin |
|
|
|
oh vielen dank :) mal sehen was ich noch so für probleme finde :D aber das is schonmal ne große hilfe gewesen |
