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Rang einer Matrix mit Parametern

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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11:15 Uhr, 27.01.2016

Hallo,
ich habe die folgendes gegeben:

B = A - k \cdot I

Dabei ist:
A eine nxn Matrix die auf allen Einträgen eine 1 stehen hat.

k

ein Parameter
I die nxn Einheitsmatrix

Nun soll ich den Rang der Matrix

B

bestimmen für

a) k = 0

b) k = n

a)

Wenn

k = 0,

dann ist

A = B

B

hat also nur Einträge mit Einsen.

\to

alle Zeilen sind gleich (linear abhängig)

\to

Rang(B)=1
Das war noch relativ einfach.

zu

b)

Ich komme ja auf folgende Matrix:

B = (\begin{matrix} (1 - n) & 1 & 1 & 1 \\ 1 & (1 - n) & 1 & 1 \\ 1 & 1 & (1 - n) & 1 \\ 1 & 1 & 1 & (1 - n) \end{matrix})

Das ist natürlich nur ein Beispiel für Rang

n = 4

um mir das mal zu verdeutlichen (der Beweiß soll aber allgemein erfolgen).

Nun kann ich ja auf den ersten Blick nicht sehen wie viele Zeilen wegfallen werden.
Auch die Rangbestimmung mittels Unterdeterminanten ist nicht möglich, da ich ja nicht den Rang der Mstrix weiß (folglich kann ich auch nicht die Determinante berechnen).

Hat jemand eine Idee wie ich hier den Rang bestimmen kann?

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11:27 Uhr, 27.01.2016

Rang ist

n - 1

. Dass die Zeilen lin. abhängig ist, ist klar. Deshalb Rang

< n

.
Wenn Du die 1. Zeile wegstreichst und in der verbliebenen Matrix von allen Spalten ab der 2. die 1. Spalte abziehst, bleibt rechts eine reine Diagonalmatrix der Größe

(n - 1) \times (n - 1)

. Daher ist der Rang der verbliebenen Matrix

n - 1

und mit ihr der Rang der Ausgangsmatrix.

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11:36 Uhr, 27.01.2016

Warum kann ich einfach so die 1. Zeile wegstreichen?

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11:46 Uhr, 27.01.2016

Der Rang der Matrix mit einer weggestrichenen Zeile ist

\leq

der Rang der Ausgangsmatrix. Dann wird gezeigt, dass der Rang der neu entstandenen Matrix

= n - 1

. Damit ist Rang der Ausgangmatrix

\geq n - 1

. Das ist alles, was wir brauchen.

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12:03 Uhr, 27.01.2016

Also ich streiche die erste Zeile weg und erhalte dann eine neue Matrix mit einem kleineren oder gleichen Rang wie die Ausgangsmatrix.

Das wäre doch dann eine

(n - 1) x (n)

Matrix.
Nun ziehe ich die erste Spalte von allen anderen Spalten ab.

Das ergäbe dann laut oberem Beispiel:

B_neu

= (\begin{matrix} 1 & - n & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - n & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - n \end{matrix})

Der Rang dieser Matrix ist

n - 1

(also wir haben eine Zeile weniger als in der Ausgangsmatrix

B)

Jetzt wissen wir, dass der Rang von

B \geq

Rang von B_neu.
Also entwerder

n

oder

n - 1

.

Und wie kommen wir jetzt weiter?

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14:41 Uhr, 27.01.2016

n

kann es nicht sein, weil die Zeilen lin. abhängig sind (die Summe ist 0).
Daher bleibt nur

n - 1

übrig.

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15:20 Uhr, 27.01.2016

Achso, weil ja

n

und die Summe der Einser in einer Zeile bzw. Spalte gleich groß sind.

Dankeschön :-)

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