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Rang einer Matrix mit Variablen

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Tags: Matrizenrechnung, Rang, Variablen, Vektorraum

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D2109

D2109 aktiv_icon

11:33 Uhr, 17.01.2015

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Hallo liebe Helfer,

Meine Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von

a \in ℝ

den Rang folgender Matrix:

(\begin{array}{rcl} 5 & - 4 & (a - 1) & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 1 \\ a & - 3 & (3 a) & 2 \\ 2 & - 2 & - 1 & 1 \end{array})

Soweit ich weiß, ist der Rang der Matrix die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
Also habe ich die Matrix erstmal in Zeilenstufenform gebracht:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 2 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 5 & 3 \\ 0 & 0 & (- 17 a) & (5 a - 2 a^{2}) \\ 0 & 0 & 0 & (7 a - 2 a^{2} - 5) \end{array})

Wenn ich mir überlege, schreien die letzten Koeffizienten der dritten und vierten Zeile ja nach der Mitternachtsformel. Doch trotzdem bleibt die Frage: Wie gebe ich den Rang in Abhängigkeit der Variablen an?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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D2109

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11:46 Uhr, 17.01.2015

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Ich habe meine Matrix nun noch etwas vereinfacht damit das mit dem Quadrat aus der dritten Zeile verschwindet:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 2 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 5 & 3 \\ 0 & 0 & (- 17 a) & (5 - 2 a) \\ 0 & 0 & 0 & (7 a - 2 a^{2} - 5) \end{array})

Ich glaube weiter vereinfachen in der ZSF geht nun wirklich nicht mehr... sorry :-)

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11:49 Uhr, 17.01.2015

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Betrachte vorerst die letzte Zeile.
Für welche Werte für a stehen dort nur Nullen ?

D2109

D2109 aktiv_icon

11:55 Uhr, 17.01.2015

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Also die Mitternachtsformel angewendet bekomme ich heraus:

a_{1} = 1

und

a_{2} = \frac{5}{2}

Wenn

a

diese Werte annimmt, wird diese Zeile linear abhängig. Das darf ja nicht passieren. Wie mache ich denn jetzt weiter?

Antwort

Respon

11:57 Uhr, 17.01.2015

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Aufgabenstellung ist Rang in Abhängigkeit von

a

.
Welcher Rang ergibt sich, wenn

a \neq 1

und

a \neq \frac{5}{2}

?

D2109

D2109 aktiv_icon

12:01 Uhr, 17.01.2015

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Wenn

a

diese Werte nicht annimmt, ist der Rang ja

4

. Ist der Rang also

R a n g (A) = 4

mit

a \in ℝ \ {1, \frac{5}{2}}

oder sowas...?

Antwort

Respon

12:03 Uhr, 17.01.2015

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Ja. Welcher Rang ergibt sich für

a = 1

?

D2109

D2109 aktiv_icon

12:05 Uhr, 17.01.2015

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Wenn

a = 1

, dann ist

R a n g (A) = 3

. Für

a = \frac{5}{2}

ja genauso... Muss ich das auch irgendwie angeben oder wie?

Antwort

Respon

12:09 Uhr, 17.01.2015

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Wenn das die Aufgabenstellung war

. .

.

a \in ℝ \ {1; \frac{5}{2}} \Rightarrow r (M) = 4

a \in {1; \frac{5}{2}} \Rightarrow r (M) = 3

Oder geht es um die Lösbarkeit des LGS ?

D2109

D2109 aktiv_icon

12:13 Uhr, 17.01.2015

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Ich hab die Aufgabe genauso abgetippt wie sie gestellt war :-)

Ok alles klar. Bei der dritten Zeile wird ja auch nur der letzte Koeffizient

0

, wenn

a

den Wert

\frac{5}{2}

annimmt. Am Rang ändert sich dabei also auch nichts... Also ist das wohl die endgültige Lösung. Vielen Dank ! :-)

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