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Rationalität bzw. Irrationalität von Quadratwurzel
Schüler
Tags: Direkter Beweis, Irrationale Zahlen
 
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Hallo, ich wollte eine Regel dafür finden, wann eine Quadratwurzel rational und wann irrational ist. Könntet Ihr mir bitte sagen, ob meine Herleitung und der zugehörige Beweis richtig sind? Im Folgenden meine ich mit Quadratzahlen zunächst nur die ganzen Zahlen usw. Die folgenden Überlegungen lassen sich aber auch auf Brüche mit Quadratzahlen in Zähler und Nenner anwenden . ¼, usw.) Rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, wobei a und ganze Zahlen sind und ungleich 0 ist. Ich gehe davon aus, daß die Quadratwurzel aus rational ist, setze sie also gleich Wurzel und seien ganze Zahlen und ist ungleich 0 Gleichung quadrieren: a² / b² Nach a² umformen: a² b² Satz (von dem ich nicht weiß, ob er richtig ist, ich versuche unten, ihn zu beweisen): Multipliziert man eine Quadratzahl mit einer Nicht-Quadratzahl, so ist das Produkt stets eine Nichtquadratzahl (Beweis zu diesem Satz siehe unten). In obiger Gleichung steht links die Quadratzahl a² und auf der rechten Seite steht die Quadratzahl b². Weil das Produkt b² eine Quadratzahl ist (nämlich a²), kann wegen obigem Satz keine Nichtquadratzahl sein (denn eine Nicht-Quadratzahl mal eine Quadratzahl ergibt ja eine Nichtquadratzahl) . muß also eine Quadratzahl sein. Daraus folgt die Regel: Quadratwurzeln aus Quadratzahlen sind rational. Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind irrational. Beweis zu obigem Satz Multipliziert man eine Quadratzahl mit einer Nicht-Quadratzahl, so ist das Produkt stets eine Nichtquadratzahl sei eine Nicht-Quadratzahl, kann also nicht in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegt werden: wobei ungleich ist und sind ganze Zahlen). b² b² Die rechte Gleichungsseite läßt sich nicht in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegen, . sie ist keine Quadratzahl, sondern eine Nicht-Quadratzahl. Damit ist – hoffentlich richtig bewiesen: Quadratzahl (hier b²) mal Nicht-Quadratzahl (hier ist eine Nicht-Quadratzahl. Ich würde mich sehr freuen, wenn Ihr mir sagen könntet, ob alles korrekt ist oder Fehler in der Herleitung / dem Beweis sind. Viele Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Daraus folgt die Regel: Quadratwurzeln aus Quadratzahlen sind rational. Hmmm - und "Quadratzahl" definierst du in diesem Zusammenhang ja wohl als "Quadrat einer (positiven?) rationalen Zahl". Da beißt sich die Katze ja in den Schwanz. Dein Satz besagt ja somit bloß "Die Wurzel aus dem Quadrat einer rationalen Zahl ist rational". Quadrieren und Radizieren sind über den positiven reellen Zahlen ja Umkehrfunktion voneinander - bedenkt man also, dass im Reellen stets gilt, dass die Wurzel aus dem Quadrat einer positiven Zahl stets wieder diese Zahl ist, so ist dein Satz eigentlich nichtssagend, oder? Anders gesagt, dass die Wurzel aus einer positiven Zahl genau dann rational ist, wenn diese Zahl das Quadrat einer rationalen Zahl ist, folgt bereits in trivialer Weise aus den Definitionen von Quadrieren und Wurzel ziehen. |
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Hallo Roman22, vielen Dank für Deine Antwort! Stimmt, das ist trivial: Die Quadratwurzel aus einer rationalen Quadratzahl ist rational. Aber ist denn die Aussage "Die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl . ist irrational" auch trivial? Ich bin durch folgendes Problem auf diese Aussage ("Die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl ist irrational") gekommen: Ich habe einen Beweis dafür gesehen, daß die Quadratwurzel aus 2 irrational ist. Dieser Beweis wurde indirekt geführt. Ich konnte die Umformungen in dem Beweis zwar verstehen, trotzdem will mir die Schlußfolgerung in diesem indirekten Beweis nicht ganz einleuchten. Deshalb habe ich nach einem direkten Beweis gesucht und kam so zu "meiner Regel": "Die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl ist irrational" Mit dieser Regel hätte man doch sofort gezeigt (bewiesen?), daß die Quadratwurzel aus 2 irrational ist, oder? Denn 2 ist keine Quadratzahl, also ist die Quadratwurzel aus 2 irrational. Könnte man also mit der Regel "Die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl ist irrational" nicht sofort direkt beweisen, daß die Quadratwurzel aus . allgemein aus jeder Nicht-Quadratzahl) stets irrational ist? |
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" Aber ist denn die Aussage "Die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl . ist irrational" auch trivial? " Ja, weil das bei dir in deiner Definition von "Quadratzahl" ja inkludiert ist. Du beweist letztlich nur deine Definition in beiden Richtungen. Anders gesagt: Wenn die Wurzel aus einer Nicht-Quadrat rational wäre, dann wäre das sofort ein Widerspruch zu Nicht-Quadratzahl. |
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Dankeschön :-) |
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