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Realteil von komplexer Zahl (z-1)/(z+1) zeigen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gesamtbetrag, Komplexe Zahlen, realteil, Realteil zeigen

ravenxclxws aktiv_icon

18:49 Uhr, 27.11.2017

Hallo zusammen.
Folgende Aufgabe lässt mich im Moment ein wenig verzweifeln:

(d)

Sei

z \in ℂ \ ℝ,

sodass

| z | = 1

. Zeigen Sie, dass

R e ((z - 1) / (z + 1)) = 0

.

Egal, wie viel ich an dieser Aufgabe rumrechne, ich komme einfach nicht auf die vorgegebene Lösung. Vielleicht liegen meine Probleme daran, dass ich noch keine Erfahrung mit komplexen Zahlen habe, da wir diese erst vor Kurzem besprochen haben.
Ich wäre euch auf jeden Fall sehr dankbar, wenn ihr mir bei der Lösung der Aufgabe helfen und mir zumindest einen Ansatz geben könntet. :-)

LG Lena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:58 Uhr, 27.11.2017

Hallo,

oft ist bei solchen Problemen eine leichte Konkretisierung der Art

z = a + i b

sinnvoll.

* Versuche,

∣ z ∣ = 1

aus dieser "Konkretisierung" heraus abzuleiten, d.h.: Wie lässt sich

∣ z ∣ = 1

mit

a

und

b

ausdrücken?
* Forme aus

z = a + i b

eine Term für

z - 1

z + 1

und

\frac{z - 1}{z + 1}

wieder in der Form

Re + i \cdot Im

.

Dann sehen wir weiter.

Mfg Michael

EDIT: LaTeX nicht korrekt angezeigt!?!

ravenxclxws aktiv_icon

19:20 Uhr, 27.11.2017

Schon mal vielen Dank für Deine Hilfe :-)

Also,

| z | = 1

lässt sich als

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1

schreiben.

Wenn

z = a + i b,

dann ist

z - 1 = a - 1 + i b

und

z + 1 = a + 1 + i b

Dann ist

\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{a - 1 + i b}{a + 1 + i b}

Die Division haben wir in der Vorlesung nicht besprochen, allerdings habe ich dazu auf Wikipedia gefunden, dass man diesen Bruch jetzt mit

\frac{a + 1 - i b}{a + 1 - i b}

multiplizieren würde, also wäre das dann

\frac{(a - 1 + i b) (a + 1 - i b)}{(a + 1 + i b) (a + 1 - i b)}

Ich habe das Ganze jetzt ausmultipliziert, weiß aber ehrlich gesagt nicht genau, wie ich in auf die gewollte Form bringen kann...

LG Lena

Respon

19:32 Uhr, 27.11.2017

Du solltest jetzt folgendes Ergebnis haben:

\frac{a^{2} + b^{2} - 1 + 2 \cdot i \cdot b}{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 \cdot a}

ravenxclxws aktiv_icon

19:40 Uhr, 27.11.2017

Ja, genau, das Ergebnis habe ich.

Soll ich den Bruch jetzt aufteilen in

(\frac{a^{2} + b^{2} - 1}{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 a}) + i \cdot (\frac{2 b}{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 a})

?

Damit hätte ich ja auf der rechten Seite

i \cdot I m

Respon

19:42 Uhr, 27.11.2017

Nein.
Laut Angabe gilt ja

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 1

\frac{a^{2} + b^{2} - 1 + 2 \cdot i \cdot b}{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 \cdot a} \Rightarrow \frac{1 - 1 + 2 \cdot b \cdot i}{1 + 1 + 2 \cdot a} = i \cdot \frac{b}{a + 1}

ravenxclxws aktiv_icon

19:43 Uhr, 27.11.2017

Mir fällt jetzt auf, dass wir auf der linken Seite

\frac{a^{2} + b^{2} - 1}{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 a}

stehen haben.

Durch

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1

folgt, dass

a^{2} + b^{2} = 1

Somit ist

a^{2} + b^{2} - 1 = 0

. Also wäre ja damit bewiesen, dass

R e (z) = 0

Und damit wäre die Aufgabe gelöst!

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

Bummerang

10:57 Uhr, 28.11.2017

Hallo,

eine andere Herangehensweise mit weniger Rechnen wäre die folgende:

Man betrachte das Koordinatensystem mit Einheitskreis und einem beliebigen

z

auf dem Kreis (ausser

z = 1

und

z = - 1)

. Dann betrachte man das Dreieck aus den Punkten der Zahlenebene, die zu

- 1, 1

und

z

gehören. Dieses Dreieck ist rechtwinklig.

Jetzt betrachte man ein zweites Koordinatensystem (gleicher Skalierung) mit einem Kreis um

- 1

mit dem Radius 1 und einem Kreis um 1 ebenfalls mit dem Radius 1. Auf diesen beiden Kreisen liegen

z - 1

und

z + 1

. Nun betrachte man die beiden Dreiecke aus den Punkten

- 2, 0

und

z - 1

bzw.

0, 2

und

z + 1

. Man erkennt sofort, dass die beiden Kreise mit den beiden Dreiecken nichts anderes sind, als die nach links bzw. rechts verschobenen Konstruktionen aus dem ersten Koordinatensystem. Beide Dreiecke sind rechtwinklig und jeweils eine Kathete verbindet

z - 1

bzw.

z + 1

mit dem Ursprung. Diese beiden Katheten stehen zueinander ebenfalls im rechten Winkel und diese beiden Katheten bilden zusammen mit der positiven reellen Achse einen Winkel, der gleich dem Argument von

z - 1

bzw.

z + 1

ist. Bei der Division von

z - 1

und

z + 1

hat das Ergebnis ein Argument, das der Differenz der beiden Argumente entspricht. Da die Katheten rechtwinklig aufeinander stehen, ist die Differenz der Argumente entweder

\frac{π}{2}

oder

\frac{3 \cdot π}{2}

. Wandelt man das Ergebnis der Division wieder in kartesische Koordinaten um, so steht im Realteil ein Faktor, der gleich dem Kosinus des Arguments des Quotienten ist. Da sowohl

cos (\frac{π}{2}) = 0

als auch

cos (\frac{3 \cdot π}{2}) = 0

ist, ist der Realteil des Quotienten gleich Null.

ermanus aktiv_icon

11:51 Uhr, 28.11.2017

Hallo,
ich mag geometrische Lösungen von Problemen im Komplexen :-) ...
Ich habe aber hier noch eine andere "algebraische" Variante.
Für eine komplexe Zahl

u

gilt offenbar

R e (u) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} u = - \bar{u}

.
Es ist

\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{z - 1}{z + 1} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{z \bar{z} - \bar{z}}{z \bar{z} + \bar{z}} = - \frac{\bar{z} - 1}{\bar{z} + 1} = - \bar{(\frac{z - 1}{z + 1})} \Rightarrow R e (\frac{z - 1}{z + 1}) = 0 .

Gruß ermanus

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