Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Rechenregel angeordnete Körper

Rechenregel angeordnete Körper

Universität / Fachhochschule

Tags: Körper, Körperaxiome

Alex0802 aktiv_icon

09:47 Uhr, 12.11.2020

Hallo,

ich bin mir unsicher mit meinen Ergebnissen und frage mich, ob ich bei der Aufgabe richtig vorgegangen bin.

Die Aufgabe:

Es sei

(K, +,

·) ein angeordneter Körper. Dann gelten, für beliebige

a, b, c

∈

K :

1)Falls

a > 0

und

b > 0,

dann sind

a + b > 0

und a·b>0
2)Falls

a > b

und

c > d,

dann ist

a + c > b + d

3)Falls

a > b > 0

und

c > d > 0,

dann ist a·c>b·d
4)Falls a≠0, dann ist a hoch2>0. Insbesondere ist

1 > 0

5)Die Gleichung

x 2 + 1 = 0

hat keine Lösung in

K

6)Falls

a > b > 0,

dann ist b−1 >a−1

Ebenfalls haben wir folgende Vorgaben bekommen:

(i)

a < b

=∆

a + c < b + c

(ii) Für

c > 0, a < b

=∆ a·c<b·c

Meine Lösungen:

1)

ab>0 und

a > 0

impliziert ab/a

> 0 = b > 0

ab>0 und

b > 0

impliziert ab/b

> 0 = a > 0

a + b > 0

und

a > 0

impliziert

a - a + b > 0 = b > 0

a + b > 0

und

b > 0

impliziert

a + b - b > 0 = a > 0

2) a + c > b + d = a - a + c > b - b + d = c > d

a + c > b + d = a + c - c > b + d - d = a > b

3) a \cdot c > b \cdot d = a \cdot \frac{c}{c} >

bd/d

= a > b

a \cdot c > b \cdot d = a \cdot \frac{c}{a} >

bd/b

= c > d

4)

1.Fall:

a > 0

a hoch2

> 0 = a \cdot a > 0 = (- a) \cdot (- a) > 0

2.Fall:

a < 0

- a

hoch2

> 0 = - a \cdot - a > 0 = a \cdot a > 0

Die anderen habe ich leider nicht geschafft.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen...

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

10:00 Uhr, 12.11.2020

Hallo,
es ist schwierig deine Lösungen zu beurteilen, weil es
verschiedene Definitionen für angeordnete Körper gibt.
Schreib uns daher bitte eure Definition der Anordnung auf.
Gruß ermanus

Alex0802 aktiv_icon

10:04 Uhr, 12.11.2020

Also wir haben es so definiert:

michaL aktiv_icon

10:16 Uhr, 12.11.2020

Hallo,

vorab: Mir ist stets ein Scan der Originalaufgabenstellung lieber! (Max. Größe 500 kB beachten!)

Wenn ich das richtig lese, ist ein angeordneter Körper bei euch wie folgt definiert:
(i)

a < b \Rightarrow a + c < b + c

(ii) Für

c > 0

a < b

\Rightarrow

a \cdot c < b \cdot c

Dann kann 1) relativ einfach gelöst werden:

0 < a \overset{(i)}{\Rightarrow} b = 0 + b < a + b

Wegen

0 < b < a + b \Rightarrow 0 < a + b

a - b > 0

kann nur aus

b < a

geschlossen werden (weil es im anderen Falle schlicht falsch wäre).

Also

a > b \overset{(i)}{\Rightarrow} a + (- b) > b + (- b) = 0

, d.h.

a - b > 0

Was du bei 1) gemacht hast, kann ich nicht nachvollziehen. Du solltest doch (vermutlich) von

0 < b < a

ausgehen und daraus

a \pm b > 0

schließen?!

2) sieht genauso eigenartig aus!

Wir gehen von

a > b

und

c > d

aus.
Aus

a > b

folgt mit (i):

a + d > b + d

Aus

c > d

folgt mit (i):

c + a > d + a

bzw. mit Rechengesetzen des Körpers (Kommutativgesetz Addition)

a + c > a + d

.
Zusammengestzt:

a + c > a + d > b + d

Aus der Transitivität von "

>

" folgt also

a + c > b + d

.

3) geht so ähnlich wie 2). Versuche doch mal!

4) ist optimierbar, aber vom Grundsatz her ok.
Überlege (besonders zu Anfang(?)), welche Axiome/Gesetze die die einzelnen Schlüsse gestatten!

5) und 6) machen wir dann später. :-)

Mfg Michael

Alex0802 aktiv_icon

10:18 Uhr, 12.11.2020

Ah ok, danke. Ich versuch meine Antworten mal zu überarbeiten ;-)

Alex0802 aktiv_icon

21:19 Uhr, 12.11.2020

Soo... Ich hab jetzt für die

3)

folgendes raus:

a > b > 0,

nach (ii)=>

a \cdot d > b \cdot d

a > d > 0,

nach (ii)=>

c \cdot a > d \cdot a

Also bekommt man zusammengefasst:

a \cdot c > b \cdot d

Bei der

4)

ist mir eigentlich nichts mehr eingefallen, wie ich meine Lösung abändern könnte.

Bei der

5)

verstehe ich absolut nur Bahnhof und bei der

6)

finde ich das hoch-1 etwas komisch. Ist damit das Inverse Element gemeint?

michaL aktiv_icon

07:51 Uhr, 13.11.2020

Hallo,

die Fallunterscheidung ist bei 4) in Ordnung. Es geht mir eher um die Art, wie du es aufschreibst! Welche Regel verwendest du enn an welcher Stelle? (Muss nicht immer mitnotiert werden, wenn man es denn auch so erkennen kann. Kann ich bei dir aber nicht!)

Ich hätte es so gemacht:
Fall 1:

a > 0 \overset{(i)}{\Rightarrow} a^{2} > a \cdot 0 = 0

, d.h.

a^{2} > 0

Fall 2:

a < 0 \Rightarrow (- a) > 0 \overset{(i)}{\Rightarrow} (- a)^{2} > - a \cdot 0 = 0

, d.h.

a^{2} > 0

Verwendet die vielleicht nicht offensichtliche Tatsache, dass aus

a < 0

eben

- a > 0

folgt. Wenn ihr das noch nicht bewiesen habt, müsstest du es vor (oder wenigstens unabhängig von der) Verwendung tun.

Bei 5) sollte dir klar sein, dass die Lösungen von

x^{2} + 1 = 0

und

x^{2} = - 1

übereinstimmen.
Wenn du nun nch auf

- 1 < 0

(bzw.

1 > 0

) zurückgreifen könntest, wäre alles geritzt.

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1516913

1516705

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?