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Rechnen mit Orangen... Bitte helft mir!
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 19:06 Uhr, 12.02.2004  |
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Moin Moin! Also es geht darum das man eine quadratische pyramide mit orangen aufbauen soll unten 16*16 Orangen und in der Reihe dadrüber 15*15 usw... Man will im Endeffekt wissen wieviele Orangen es sind... Man könnte nun natürlich 16*16 +15*15 +14*14 ...usw rechnen aber ich würde gerne eine Formel dafür aufstellen, kriegs aber nicht hin... Hoffe hier kann mir jemand helfen! Im Vorraus schonmal vielen dank! Mfg Klebstoffkind |
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Hallo, wenn du s(0):=0*0=0, s(k+1):=s(k)+(k+1)*(k+1) definierst, so gilt: s(0)=0 (nach Definition) s(1)=s(0)+1*1=1 s(2)=s(1)+2*2=1+4=5 s(3)=s(2)+3*3=9+5=14 . . . und du erkennst: s(n)=1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+...+n*n Dafür gibt es eine Formel, sie lautet: s(n)=[n(n+1)(2n+1)/6] (*) Einen Beweis führe ich mal innerhalb der "----"-Zeilen, evtl. überspringe diese einfach... --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------- Beweisbar wäre dies mit einem Induktionsbeweis; leider weiß ich nicht, wie gut du dich mit so etwas auskennst, ich werde ihn aber dennoch mal führen: s(0)=0*0=0 und für n=0 gilt: [0*(0+1)(2*0+1)/6]=0, also stimmt die Formel für n=0. Wir zeigen: Stimmt die Formel für ein n, so stimmt sie auch für n+1 (im Zeichen n->n+1): n->n+1: s(n+1)=s(n)+(n+1)*(n+1) =[n(n+1)(2n+1)/6]+(n+1)*(n+1) =[(n+1)/6]*[n(2n+1)+6(n+1)] =[(n+1)/6]*[2n²+n+6n+6] =[(n+1)/6]*[(n+2)(2n+3)] =[(n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1)]/6 Also stimmt die Formel auch für n+1, wenn sie für n stimmt (die Rechnung muss zeigen, dass das Ergebnis für s(n+1) dasselbe ist wie in (*), wenn man dort n durch n+1 ersetzt. Dies ist nachgewiesen). Wir haben gesehen: Für n=0 stimmt die Formel, nach obiger Rechnung (n->n+1) stimmt sie dann auch für n=1. Weil sie für n=1 stimmt, stimmt sie auch für n=2 (wieder wegen der Rechnung) Weil sie für n=2 stimmt, stimmt sie auch für n=3 (wieder wegen der Rechnung) . . . Somit stimmt sie für alle natürlichen Zahlen und für n=0. Tschuldigung, wenn du noch nie etwas über Induktionsbeweise gehört/gelesen hast. Aber ich stelle nicht gerne unbewiesene Tatsachen in den Raum. Notfalls benutze/merke dir einfach die Formel. Ich könnte dir zwar noch eine Herleitung dazu anbieten, aber die Herleitung würde auf einer Vermutung beruhen (Polynom Grad <=3), man müsste ein Gleichungssystem in 4 Variablen lösen und das Ergebnis dann doch wieder induktiv beweisen. Also außer einer umständlichen Rechnung hätte man nicht wirklich etwas gewonnen. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------- Der Einfachheit halber noch einmal: 0*0+1*1+2*2+3*3+4*4+...+n*n=[n(n+1)(2n+1)/6] Ein Test (für n=7): 1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7=1+4+9+16+25+36+49=140 Und die rechte Seite für n=7: [7*(7+1)(2*7+1)/6]=[7*8*15]/6=7*8*(5/2)=7*4*5=7*20=140 Und natürlich kann man das ganze auch auf deine Aufgabe beziehen und n=16 einsetzen: s(16)=[16*(16+1)(2*16+1)/6] =16*17*(33/6)=16*17*(11/2)=8*17*11=8*187=1496 Es sind also 1496 Orangen. Viele Grüße Marcel |
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