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Rechnen mit Zufallsvariablen

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Stochastikerin

11:45 Uhr, 14.11.2021

Sei

X

eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

P [X \leq x] = F_{X} (x) = 0,

falls

x < 0; \frac{1}{2} x,

falls

0 \leq x < 2; 1,

falls

x \geq 2

Sei

Y := X^{2}

. Berechnen Sie:

a) P [\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}]

b) P [Y < X]

c) P [X + Y \leq \frac{3}{4}]

d) P [\sqrt{X} \geq z], z \in ℝ

- - -

a)

P [\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}] = F_{X} (\frac{3}{2}) - F_{X} (\frac{1}{2})

. Da unsere x-Werte zwischen 0 und 2 liegen, müssen wir bei diesem Fall die Funktion

\frac{1}{2} x

betrachten.

\to F_{X} (x) = \frac{1}{2} x

- \to P [\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}] = F_{X} (\frac{3}{2}) - F_{X} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

b)

P [Y < X] = P [X > X^{2}] = 1 - F_{X} (X^{2})

\to

Jetzt weiß ich nicht, was ich weiter rechnen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stochastikerin

18:43 Uhr, 14.11.2021

Zusätzliche Aufgabe:

Es seien zwei reellwertige Zufallsvariablen

X

und

Y

gegeben mit

X \leq Y

. Begründen Sie für die beiden folgenden Aussagen, ob sie für alle Wahlen von

X, Y

und

t \in ℝ

wahr sind oder nicht. Beweisen btw geben Sie ein Gegenbeispiel an.

a) P [X \geq t] \leq P [Y \geq t]

b) P [X \geq t] \geq P [Y \geq t]

DrBoogie aktiv_icon

19:23 Uhr, 14.11.2021

X^{2} < X

<=>

X^{2} - X < 0

<=>

X (X - 1) < 0

<=>

X \in (0, 1)

DrBoogie aktiv_icon

19:26 Uhr, 14.11.2021

"Zusätzliche Aufgabe"

a)

P [X \geq t] \leq P [Y \geq t]

Wenn

X \geq t

, dann

Y \geq X \geq t

, also

{X \geq t} \subseteq {Y \geq t}

und damit ist

a

bewiesen.

b) ist dementsprechend falsch, du kannst z.B.

X

konstant

0

wählen und

Y

konstant

1

und

t = 0.5

Stochastikerin

15:56 Uhr, 15.11.2021

Nun zu berechnen:

P [X + Y \leq \frac{3}{4}] = P [X + X^{2} \leq \frac{3}{4}]

Hier hätte ich den Ansatz:

F_{X + Y} (\frac{3}{4}) = . .

.

Hier weiß ich aber nun nicht weiter..

Stochastikerin

15:59 Uhr, 15.11.2021

Nun zu berechnen:

P [X + Y \leq \frac{3}{4}] = P [X + X^{2} \leq \frac{3}{4}]

Hier hätte ich den Ansatz:

F_{X + Y} (\frac{3}{4}) = . .

.

Hier weiß ich aber nun nicht weiter..

DrBoogie aktiv_icon

16:04 Uhr, 15.11.2021

Du musst hier wiederum zuerst mal weg von Stochastik einfach analytisch die Ungleichung

x + x^{2} \leq 3 / 4

lösen, das Ergebnis ist auch hier ein Intervall.
Wie man quadratische Ungleichungen löst, sollst du noch aus der Schule wissen.

Stochastikerin

16:40 Uhr, 15.11.2021

Okay, das habe ich bereits auf dem Blatt gemacht.
Wieso rechnet man dies auf diese Weise?

\to

Als Intervall hatte ich übrigens

[\frac{1}{2}, - \frac{3}{2}]

raus
Nun kann eine Wahrscheinlichkeit ja nicht negativ sein. Wie steht es dann damit?

HAL9000

17:16 Uhr, 15.11.2021

Zunächst mal halten wir fest, dass du da einen Vorzeichenfehler in deiner Rechnung hast - tatsächlich kommt das Intervall

[- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}]

als Ungleichungslösung heraus.

> Nun kann eine Wahrscheinlichkeit ja nicht negativ sein.

Diesen Satz kann ich nur als gravierendes Missverständnis deuten: Es geht bei den Intervallwerten doch nicht um Wahrscheinlichkeiten, sondern das Intervall gibt an, wo die Zufallsgröße

X

Werte haben darf!!! D.h.

P [X + X^{2} \leq \frac{3}{4}] \overset{!}{=} P [- \frac{3}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}] = F_{X} (\frac{1}{2}) - F_{X} (- \frac{3}{2})

.

EDIT: Eben stand noch das Intervall

[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]

in deinem Beitrag - das hast du anscheinend kürzlich noch editiert.

Stochastikerin

15:03 Uhr, 16.11.2021

Ups.. Ich dachte, ich sei schon am Ende! Danke!

Dann haben

P [- \frac{3}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}] = F_{X} (\frac{1}{2}) - F_{X} (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{4}

HAL9000

15:33 Uhr, 16.11.2021

Ja, so stimmt es.

Fehlt noch d): Dort alles klar? Auch dran gedacht, dass der Parameter

z

auch negativ sein darf?

Stochastikerin

11:50 Uhr, 17.11.2021

Hallo,

ich habe noch kurz eine Frage zu

c)

Wir haben ja

P [X + Y \leq \frac{3}{4}] = P [- \frac{3}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}]

. Wäre durch das Kleiner Gleich die Rechnung nicht:

P [- \frac{3}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}] = F_{X} (\frac{1}{2}) - F_{X} (- \frac{3}{2}) + P (X = - \frac{3}{2})

Stochastikerin

11:55 Uhr, 17.11.2021

d)

Ich hätte denselben Ansatz geliefert:

P [\sqrt{X} \leq z] \to \sqrt{X} \leq z \Leftrightarrow X \leq z^{2}

z \in ℝ

darf negativ sein, durch das Quadrat ist es aber stehts positiv. Die kleinstmögliche Zahl, die

z^{2}

also sein kann, ist 0. Dementsprechend darf

X

nur Werte

\leq 0

annehmen.

X \in (- \infty, 0]

P [\sqrt{X} \leq z] = P [- \infty \leq X \leq 0]

X

die Werte 0 annimmt für alle

X < 0,

müsste man sich noch die Wahrscheinlichkeit anschauen, dass

X

den Wert 0 annimmt.

Also

P [X = 0]

. Dieser wäre

\frac{1}{2} \cdot 0 = 0,

weshalb

P [\sqrt{X} \leq z] = P [- \infty \leq X \leq 0] = 0

DrBoogie aktiv_icon

12:26 Uhr, 17.11.2021

Ne, das ist mehr oder weniger Quatsch bei dir.
Erstens, wenn

z < 0

, dann ist

\sqrt{X} \leq z

nicht möglich, denn links steht eine nichtnegative Zahl. Deshalb für

z < 0

gilt

P (\sqrt{X} \leq z) = 0

.
Wenn

z > 0

, dann ist

\sqrt{X} \leq z

äquivalent zu

0 \leq X \leq z^{2}

, denn

X

kann keine negative Werte annehmen.
Also in diesem Fall ist

P (\sqrt{X} \leq z) = F_{X} (z^{2}) - F_{X} (0)

. Das Weitere kannst du auch selbst schaffen.

HAL9000

12:46 Uhr, 17.11.2021

Das mit dem angefügten

P (X = - \frac{3}{2})

ist korrekt, das gehört tatsächlich zwingend dazu, wenn wir NICHT voraussetzen können, dass

X

stetig verteilt ist. Ich habe diesen Summand weggelassen (zugegebenermaßen ohne die Begründung oben zu nennen), weil unser

X

hier stetig verteilt ist. ;-)

Eine Darstellung für allgemeines

X

mit der Verteilungsfunktion wäre

P [- \frac{3}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}] = F_{X} (\frac{1}{2}) - F_{X} (- \frac{3}{2} - 0)

,

wobei dieses "-0" den LINKSSEITIGEN Grenzwert der Funktion

F_{X}

an dieser Stelle

- \frac{3}{2}

bedeuten soll, d.h., nicht den Funktionswert selbst an dieser Stelle.

Stochastikerin

14:11 Uhr, 17.11.2021

Eine andere Aufgabe zu Zufallsvariablen:

Sei

(Ω, A, P)

ein W-Raum und

A \subset Ω

. Wir definieren die Funktion

1_{A} : Ω \to ℝ

ω \to 1_{A} (ω) = 0,

falls

ω \notin A, 1

falls

ω \in A

.

Zeigen Sie, dass

1_{A}

genau dann eine Zufallsvariable ist, also dass die Funktion

A - B (ℝ)

messbar ist, wenn

A \in A

- -

Eine Funktion heißt Zufallsvariable, wenn das Urbild exstiert bzw. wenn messbar. Wie kann ich hier jedoch zeigen, dass es sich um eine ZV handelt?

HAL9000

14:28 Uhr, 17.11.2021

> Eine Funktion heißt Zufallsvariable, wenn das Urbild exstiert bzw. wenn messbar.

Die Messbarkeit ist das entscheidende: Das Urbild existiert immer als Teilmenge von

Ω

, aber hier wird eben gefordert, dass es auch in der Sigma-Algebra

A

des W-Raums

(Ω, A, P)

liegt. Und das sollte hier bewiesen werden - und das geht einfach dadurch indem du alle möglichen Urbilder von

1_{A}

hier auflistest: Es sind lediglich vier.

P.S.: Es dient nicht der Lesbarkeit, wenn du die unterschiedlichen Dinge wie Sigma-Algebra

A

und messbare Menge

A

alle mit dem selben

A

bezeichnest. Wenn du das mit LaTeX nicht ausdrücken kannst, dann bezeichne die Sigma-Algebra eben anders, z.B. mit

B

oder

S

...

Stochastikerin

14:57 Uhr, 17.11.2021

Ich weiß, wie ich bei Funktionen wie

f (x) = x^{2}

beispielsweise die Urbilder berechnen kann. Hier hängt es aber. Ich verstehe das Vorgehen, aber nicht den ersten schritt.

HAL9000

15:06 Uhr, 17.11.2021

Die Funktion

1_{A}

kann nur die beiden Werte 0 sowie 1 annehmen. Dementsprechend spielt es für das Urbild

1_{A}^{- 1} (B)

einer Borelmenge

B

auch nur eine Rolle, ob 0, ob 1, ob beide oder überhaupt keine der beiden Zahlen in

B

enthalten sind. Für jeden dieser vier Fälle lässt sich das Urbild explizit angeben: Gehe einfach streng nach Definition des Urbildes vor und beachte dabei die Definition dieser Indikatorfunktion

1_{A}

. Da ist wirklich nicht viel dabei, man muss sich nur konzentrieren!

Oder um es in Formeln auszudrücken: Es ist

1_{A}^{- 1} (B) = 1_{A}^{- 1} (B \cap {0, 1})

für alle Borelmengen

B

. Damit musst du nur noch die vier Urbilder

1_{A} ({})

1_{A} ({0})

1_{A} ({1})

sowie

1_{A} ({0, 1})

berechnen. Kriegst du das hin?

Stochastikerin

15:22 Uhr, 17.11.2021

Ich versuche nochmal schneller zu sein, immer wenn ich etwas getippt habe, kam ein Edit :-D)

Okay:

Ich verstehe deine ganzen Ansätze, verstehe die Definition etc. Ich kam etwas mit der Borelmenge am Anfang durcheinander. Was mich verwirrt, ist in der Aufgabenstellung die Schreibweise "dass die Funktion

A - B (ℝ)

messbar ..."
Was genau verbirgt sich hinter dem Ausdruck

A - B (ℝ)

?

Wenn ich es mal versuche:

1_{A} ({0}) :

Im Urbild befindet sich die Menge aller Werte, die bei der Indikatorfunktion den Wert 0 annehmen.
Das kann ja nur der Fall sein, falls

ω

nicht in A liegt.

1_{A} ({0}) = {ω : ω \notin A}

Analog die 1:

1_{A} ({1}) = {ω : ω \in A}

Damit das Urbild keine/beide Werte annimmt, müsste

ω

sowohl in A als auch nicht in A sein, was ein Widerspruch

m . E

. wäre.

1_{A} ({}) = {}

1_{A} ({0, 1}) = {}

Wir sollen nun zeigen, dass das Urbild in der Sigma-Algebra des W-Raums liegt.
Jetzt sein (Omega,

A, P)

ein W-Raum. Dort ist per Definition die leere Menge drinnen. Ebenso ist A drinnen. Ich komme aber nicht zurecht mit der Antwort über die Aussage bzgl

1_{A} ({0}) = {ω : ω \notin A}

HAL9000

15:37 Uhr, 17.11.2021

Warum schreibst du

1_{A} ({0})

, wenn es doch eigentlich um das Urbild

1_{A}^{- 1} ({0})

geht? Ich finde sowas ärgerlich - ich geb mir schließlich auch Mühe, korrekt zu schreiben.

Das dauert mir jetzt alles zu lange, diese ewige Rumdiskutiererei um eine einfache Anwendung der Definition des Urbildes: Es ist schlicht

1_{A}^{- 1} ({0}) = A^{c}

1_{A}^{- 1} ({1}) = A

und natürlich

1_{A}^{- 1} ({}) = {}

und

1_{A}^{- 1} ({0, 1}) = Ω

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