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Rechnen mit der Klammern

Schüler Gymnasium,

Tags: Klammeraufgaben

Olena aktiv_icon

21:54 Uhr, 20.10.2019

Hallo zusammen,
normalerweise weiß ich, wie man mit der Klammer rechnet, nämlich

- (a + b) = - a - b

bzw.

- (a - b) = a + b,

aber was wird mit der Vorzeichen, wenn es ein Bruch in der Klammern steht?
Ich bin eben über diese Aufgabe (Gleichung) gestolpert:

\frac{x + 5}{3} - (\frac{x + 7}{7} + \frac{x - 20}{3}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{3 (x + 7) + 7 (x - 20)}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{3 x + 21 + 7 x - 140}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{10 x - 119}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

Was wird jetzt aus dem Term wenn ich die Klammer auflöse? Wäre so was richtig?

\frac{x + 5}{3} + \frac{- 10 x + 119}{- 21} = \frac{14 - 3 x}{21}

Ich bedanke bei Ihnen im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

21:56 Uhr, 20.10.2019

"-(a-b)=a+b"
ist schon mal falsch.

Wieso hast du aus der 21 im Nenner eine -21 gemacht?
Ich hätte übrigens SOFORT die Gleichung mit 21 multipliziert.

Roman-22

23:03 Uhr, 20.10.2019

>

Wieso hast du aus der

21

im Nenner eine

- 21

gemacht?
Darin bestand doch genau die Frage!

@Olena
Ein Bruch wird mit einer Konstanten multipliziert, indem NUR DER ZÄHLER mit dieser Konstanten multipliziert wird. Also zB

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

oder

a \cdot \frac{b + c}{d} = \frac{a \cdot (b + c)}{d}

.

Das Minus vor dem Bruch kannst du nun als Multiplikation mit

(- 1)

sehen und wirkt sinnvollerweise daher NUR AUF DEN ZÄHLER (ja, im Falle der Multiplikation mit

- 1

könnte man es auch auf den Nenner, aber dann nur auf diesen, wirken lassen).

- \frac{3}{2}

kann man auch als

\frac{- 3}{2}

schreiben und, etwas unüblich, auch als

\frac{3}{- 2}

.

In deiner Rechnung ist also, wie von abakus schon moniert, das Minus vor der

21

im Nenner falsch, denn du hast das negative Vorzeichen ja schon im Zähler richtig berücksichtigt.

P . S . :

Die Klammer um den Bruch ist im Übrigen unnötig, da der Bruch quasi wie eine unsichtbare Klammer um Zähler und Nenner wirkt. Wenn du dich mit der Klammer aber noch sicherer fühlst, dann schreib sie ruhig, denn falsch ist sie ja nicht, nur überflüssig.

Olena aktiv_icon

01:32 Uhr, 21.10.2019

Oh ja! Das war ein Tippfehler!

- (a - b) = - a + b

Olena aktiv_icon

01:55 Uhr, 21.10.2019

Ich habe versucht richtig auszuklammern, aber es funktioniert bei mir leider nicht(

a) \frac{x + 5}{3} - (\frac{x + 7}{7} + \frac{x - 20}{3}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{3 (x + 7) + 7 (x - 20)}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{3 x + 21 + 7 x - 140}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} - (\frac{10 x - 119}{21}) = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} + \frac{(- 1) \cdot 10 x + (- 1) \cdot (- 119)}{21} = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{x + 5}{3} + \frac{- 10 x + 119}{21} = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{7 (x + 5)}{21} + \frac{1 (- 10 x + 119)}{21} = \frac{14 - 3 x}{21}

\frac{7 x + 35}{21} + \frac{- 10 x + 119}{21} = \frac{14 - 3 x}{21} | \cdot 21

7 x + 35 - 10 x + 119 = 14 - 3 x

- 3 x + 154 = 14 - 3 x | + 3 x

154

ist nicht gleich

14,

aber es soll

x = 0

sein.

Olena aktiv_icon

02:38 Uhr, 21.10.2019

Und noch eine ähnliche Aufgabe, was ich auch nicht lösen kann.

\frac{17 x - 51}{9} - (\frac{- 13 x - 3}{6} + 11 - \frac{9 x - 7}{4}) = 0

\frac{17 x - 51}{9} - (\frac{- 13 x - 3}{12} + \frac{11}{12} - \frac{9 x - 7}{12}) = 0

\frac{17 x - 51}{9} - (\frac{2 (- 13 x - 3)}{12} + \frac{12 \cdot 11}{12} - \frac{3 (9 x - 7)}{12}) = 0

\frac{17 x - 51}{9} - (\frac{- 26 x - 6}{12} + \frac{132}{12} - \frac{27 x + 21}{12}) = 0

\frac{17 x - 51}{9} - \frac{(- 26 x - 6 + 132 - 27 x + 21)}{12}) = 0

\frac{17 x - 51}{9} - (\frac{- 53 x + 147}{12}) = 0

\frac{4 (17 x - 51) + (- 3) (- 53 x) + (- 3) 147}{36} = 0

68 x - 204 + 159 x - 441 = 0

327 x - 645 = 0 | + 645

327 x = 645

|dividieren durch

327

x = \frac{645}{327}

AUCH FALSCH(((

Roman-22

03:03 Uhr, 21.10.2019

Du hast die erste Aufgabe völlig richtig gelöst!
Sie führt in der Tat auf die falsche Aussage

154 = 14

und somit auf eine leere Lösungsmenge. Steht in der Lösung tatsächlich

x = 0

oder steht dort vielleicht

L = \emptyset

? Letzteres wäre richtig, denn

\emptyset

ist eine mögliche Schreibweise für die leere Menge. Also

L = \emptyset

und

L = {}

bedeuten genau dasselbe - es gibt keine Lösung.

Und die Lösung der zweiten Aufgabe ist tatsächlich

x = \frac{645}{227}

.
Da hast du dich am Schluss verrechnet, denn

68 + 159 = 227

und nicht

327

.
Außerdem ist die zweite Zeile der Rechnung grober Unfug, den du in der dritten Zeile aber wieder repariert hast.

Waren die falschen

327

anstelle der

227

das Problem oder was sollte laut deinen Lösungen rauskommen? Es wäre möglich, dass auch bei dieser Aufgabe

L = \emptyset

steht. Das wäre nämlich dann richtig, wenn als Grundmenge der Aufgabe zB

ℕ

oder

ℤ

vorgegeben wäre, wenn also beispielsweise in der Angabe "Löse über

G = ℤ

" steht, dann gibts keine Lösung, da

\frac{645}{227}

ja nicht ganzzahlig ist. Steht keine Grundmenge explizit dabei, so geht man üblicherweise von

G = ℝ

aus und es ist dann

L = {\frac{645}{227}}

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08:39 Uhr, 21.10.2019

Ich vermute ist es ein Fehler in der Aufgabe, da ich alles richtig abgeschrieben habe(

Roman-22

09:02 Uhr, 21.10.2019

Bei Aufgabe

a)

scheint es sich tatsächlich um einen Angabefehler zu handeln.
Vielleicht sollte es

\frac{15 - x}{3} - (...

. lauten, dann wäre

x = 0

als Lösung richtig.

Aber bei Aufgabe

b)

hast du die Angabe falsch abgeschrieben

\frac{- 13 x - 3}{6}

ist nicht dasselbe wie

- \frac{13 x - 3}{6}

Die Lösung der abgedruckten Aufgabe ist tatsächlich

x = 3

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09:28 Uhr, 21.10.2019

- \frac{13 x - 3}{6} = \frac{- (13 x - 3)}{6} = \frac{- 13 x + 3}{6}

oder du machst ein Plus aus dem MINUS vor der Klammer und drehst alle Rechenzeichen in der Klammer um:

+ \frac{13 x - 3}{6} - 11 + \frac{9 x - 7}{4}

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