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Rechtsinverses für surjektive Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Abbildung

Johns23 aktiv_icon

00:53 Uhr, 19.03.2025

Ich versuche zu verstehen, warum die Existenz einer Funktion

g : N \to M

mit

f

g =

id_N die Surjektivität von

f : M \to N

garantiert. Insbesondere habe ich Schwierigkeiten mit der Konstruktion von

g,

wenn

f

nicht injektiv ist.

Mein Verständnis:
1. Wenn

f

nicht injektiv ist, dann gibt es mindestens ein

y \in N,

das mehrere Urbilder

x \in M

hat

(d

h .,

es gibt

x_{1}, x_{2} \in M

mit

f (x_{1}) = f (x_{2}) = y)

.

2. Die Funktion

g

muss jedem

y \in N

genau ein

x \in M

zuordnen, sodass

f (g (y)) = y

.

3. Wenn

f

nicht injektiv ist, scheint es mir, dass

g

nicht eindeutig sein kann, da es mehrere mögliche Urbilder

x

für ein

y

gibt.

Meine Fragen:
- Warum kann

g

trotzdem konstruiert werden, wenn

f

nicht injektiv ist?
- Warum gilt

f

g =

id_N, obwohl

g

nicht alle Urbilder berücksichtigt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Randolph Esser aktiv_icon

01:30 Uhr, 19.03.2025

g : N \to M, f : M \to N

mit

f \circ g

surjektiv

\Rightarrow f

surjektiv:

Angenommen,

f

ist nicht surjektiv.
Dann gibt es ein

n \in N,

sodass

n \notin f (M)

.
Da

g (N) \subset M,

gilt dann aber auch

n \notin f (g (N)) = (f \circ g) (M),

im Widerspruch zu

f \circ g

surjektiv.
Also ist

f

doch surjektiv.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Sei nun

f : M \to N

surjektiv, aber nicht injektiv.
Wir konstruieren

g : N \to M

wie folgt:
Für

n \in N

wähle ein

m \in f^{- 1} (n)

und definiere

g (n) := m

.
Dann gilt

(f \circ g) (n) = f (g (n)) = f (m) = n

und somit insgesamt

f \circ g = I d_{N}

(insbesondere ist

g

wohldefiniert und injektiv).

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Anbei noch ein bisschen Stoff zum Thema.
Satz

5.5

dort ist im Grunde ein Korollar
von

5.6 (4)

michaL aktiv_icon

08:39 Uhr, 19.03.2025

Hallo,

einen passenden Beweis hast du schon erhalten.

Konkret scheinen mir deine Verständnisschwierigkeiten darauf hinzudeuten, dass du

f \circ g = {id}_{N}

fehlinterpretierst. Es hat für mich den Anschein, als verstündest du unter

g

immer noch die (!) Inverse von

f

.
Also auch Inverse in dem Sinne, dass auch (!)

g \circ f = {id}_{M}

gelten müsste.
Das muss aber nicht der Fall sein. Schärfer: Im Falle nicht injektiver Abbildungen wird das nicht der Fall sein.

Lass' uns mal konkrete Beispiele anschauen: Wir nehmen

M := ℝ

und

N := ℝ_{\geq 0}

sowie

f : {\begin{array}{rcl} ℝ & \to & ℝ_{\geq 0} \\ x & \mapsto & x^{2} \end{array}

her.

Zu diesem

f

existiert so ein

g

. Beispielsweise:

g : {\begin{array}{rcl} ℝ_{\geq 0} & \to & ℝ \\ x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array}

Leicht rechnest du nach, dass

f \circ g (y) = {(\sqrt{y})}^{2} \overset{y \geq 0}{=} y

gilt.

Umgekehrt wird schwierig:

g \circ f (x) = \sqrt{x^{2}} = x

gilt nämlich nur für

x \geq 0

, nicht aber für

x < 0

.

Deine 1. Frage bedeutet konkret: Wie kann eine Art Umkehrfunktion konstruiert werden, wenn nicht unbedingt das (!) eindeutige

x

zu einem

f (x)

existiert?
Antwort: Solange überhaupt ein (!) solches

x

existiert, ist die Sache zu regeln. Dann hast du die freie Wahl.

So ist statt

g

in dem obigen Beispiel auch

- g

eine Umkehrfunktion zu

f

. Oder auch so ganz wilde Dinge wie

h : {\begin{array}{rcl} ℝ_{\geq 0} & \to & ℝ \\ x & \mapsto & {\begin{aligned} - \sqrt{x}, & \sin (x) < 0 \\ \sqrt{x}, & \sin (x) \geq 0 \end{aligned} \end{array}

Solange nur

∣ h (x) ∣ = \sqrt{x}

gilt, folgt auch

f \circ h (x) = {(\sqrt{x})}^{2} = x

und damit

f \circ h = {id}_{ℝ_{\geq 0}}

.

Wie du selbst in 3. schreibst:
> Wenn

f

nicht injektiv ist, scheint es mir, dass

g

nicht eindeutig sein kann, da es mehrere mögliche Urbilder

x

für ein

y

gibt.

Also Hauptsache irgendein Urbild. Daher ist

g

auch mitnichten eindeutig. Es gäbe dann mehrere Möglichkeiten.

Das bringt uns zu deiner 2. Frage:
> - Warum gilt

f \circ g = {id}_{N}

, obwohl

g

nicht alle Urbilder berücksichtigt?

Solange

g

zu irgendeinem Urbild zurück führt, kann doch

f \circ g = id

gelten. Es muss doch nicht DAS Urbild sein.

Nach der sehr langen Rede hier nochmal der Knackpunkt (jedenfalls meiner Meinung nach): Bei dir kongruieren die Begriffe/Konzepte von "Umkehren" (im Sinne von:

g

kehrt

f

um) und die Gleichung

f \circ g = {id}_{N}

nicht.

Es müsste eher so lauten: Wenn

f

eine Umkehrung einer Abbildung

g

ist, so

f

surjektiv.

Mfg Michael

HAL9000

09:53 Uhr, 19.03.2025

Eine kleine technische Anmerkung:

> Für

n \in N

wähle ein

m \in f^{- 1} (n)

Zur deutlichen inhaltlichen Unterscheidung der hier gemeinten Urbildfunktion

f^{- 1} : ℘ (N) \to ℘ (M)

zu einer evtl. existenten Inversen

f^{- 1} : N \to M

sollte man m.E. an dieser Stelle besser

m \in f^{- 1} ({n})

schreiben.

Randolph Esser aktiv_icon

15:53 Uhr, 19.03.2025

Ja, HAL, gaaanz formal korrekt gehört sich das so.
Es ist aber erlaubt (zumindest bei mir an der Uni
und auf Wikipedia), bei einelementigen Mengen
die geschweiften Klammern wegzulassen.
In meinem letzten Informatik-Modul wurden uns
gewisse Vereinfachungen in Kotlin
als "syntaktischer Zucker" verkauft.
Wir haben es hier also wohl mit syntaktischem Zucker
des Matheformalismus zu tun, Hüstel...

Ja nö, und bei diesem Ersti-Krempel wie

z . B

. mit injektiv,
surjektiv, bijektiv gibt es wohl zwei Problemquellen:

1. Studi hat die Definitionen/Formalismen nicht auf dem Schirm.

2. Studi macht mehr aus dem Krempel, als dahintersteckt
(den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen, sich verrennen,
den eiskalten Killerinstinkt noch nicht haben).

Gegen beides hilft nur Üben, Üben, Üben...

de.m.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

HAL9000

16:29 Uhr, 19.03.2025

Ok, betrachten wir mal die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = x^{3}

. Was antwortest du auf die Frage "Bestimmen Sie

f^{- 1} (8)

."

a)

f^{- 1} (8) = 2

, oder

b)

f^{- 1} (8) = {2}

?

Bei deinen Ausführungen

> Für

n \in N

wähle ein

m \in f^{- 1} (n)

hast du jedenfalls b) erwartet.

P.S.: Man findet für alles mögliche eine Begründung wie "geht doch aus dem Zusammenhang hervor, was gemeint ist". Wenn man das übertreibt, und die Redundanz auf diese Weise überdehnt, kann das ganze auch irgendwann platzen.

Randolph Esser aktiv_icon

18:49 Uhr, 19.03.2025

Natürlich, sonst (falls

f

bijektiv,
was ich oben ausgeschlossen habe) hätte ich
"Für

n \in N

setze g(n):=f^(-1)(n)."
oder ähnliches geschrieben und
mich nicht mengentechnisch
(Element von) artikuliert...

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