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Reduktionsregel sin^n(x)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Reduktionsformel

Marcell025 aktiv_icon

19:35 Uhr, 24.06.2017

Laut integralrechner.de existiert folgende Reduktionsregel:

\int {sin}^{n} (x) d x = \frac{n - 1}{n} \int {sin}^{n - 2} d x - \frac{cos (x) {sin}^{n - 1} (x)}{n}

Diese Formel erscheint zumindest wenn man den Rechenweg von

{sin}^{2} (x)

anzeigen lässt.

Für

{sin}^{3} (x)

erhalte ich jedoch mit dem integralrechner.de ein anderes Resultat als mit dieser Reduktionsformel..

Weshalb?

Gilt die Formel nur für gerade n?

Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 24.06.2017

Die Formel bekommt man mit der partiellen Integration, sie ist allgemein gültig.
Beweis:

\int \sin^{n} (x) d x = - \int \sin^{n - 1} (x) d (\cos (x)) = - \cos (x) \sin^{n - 1} (x) + \int \cos (x) d (\sin^{n - 1} (x)) =

= - \cos (x) \sin^{n - 1} (x) + \int (n - 1) \cos^{2} (x) \sin^{n - 2} (x) d x = - \cos (x) \sin^{n - 1} (x) +

\int (n - 1) (1 - \sin^{2} (x)) \sin^{n - 2} (x) d x = - \cos (x) \sin^{n - 1} (x) + (n - 1) \int \sin^{n - 2} (x) d x - (n - 1) \int \sin^{n} (x) d x

.

Also,

n \int \sin^{n} (x) d x = - \cos (x) \sin^{n - 1} (x) + (n - 1) \int \sin^{n - 2} (x) d x

.

Angewandt an

n = 3

, wird das Ergebnis

- \cos (x) \sin^{2} (x) / 3 - 2 \cos (x) / 3

sein.
Integralrechner gibt

\cos^{3} (x) / 3 - \cos (x)

aus, aber das ist dasselbe, wegen

\cos^{3} (x) = \cos (x) (1 - \sin^{2} (x))

rundblick aktiv_icon

20:13 Uhr, 24.06.2017

.
kleine Ergänzung:
deine Angabe der Rekursionsformel ist nicht ganz vollständig notiert..

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. siehe

\to

mit

\to S_{n} = \int {sin}^{n} (x) d x \Rightarrow

S_{n} = - \frac{1}{n} {sin}^{n - 1} (x) \cdot cos (x) + \frac{n - 1}{n} \cdot S_{n - 2}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

. für

\to n \geq 2 .

; .

. mit

S_{0} = x

und

S_{1} = - cos x

Nick2344 aktiv_icon

23:53 Uhr, 24.06.2017

Dr Boogie: Was ist das für eine Schreibweise mit dem

d cos x z . b

DrBoogie aktiv_icon

18:14 Uhr, 25.06.2017

So lernt man das in Russland. Hierzulande ist es weniger verbreitet, was ich schade finde.

d (f (x))

ist einfach dasselbe wie

f^{ʹ} (x) d x

, denn

d

ist ja Differential.
In dieser Schreibweise läuft partielle Integration schneller.
Aber es geht natürlich auch anders.

Marcell025 aktiv_icon

12:10 Uhr, 26.06.2017

Vielen Dank für eure Antworten! Diese haben mir sehr geholfen!

@rundblick: Du hast doch einfach noch die Fälle

n = 0

und

n = 1

ergänzt, oder? Gilt denn meine Formel nur für

n \geq 2

?

@Nick2344, DrBoogie: In der Schweiz lernen wir beide Notationen kennen.

rundblick aktiv_icon

13:03 Uhr, 26.06.2017

.
"einfach noch die Fälle

n = 0

und

n = 1

ergänzt, oder?
Gilt denn meine Formel nur für n≥2?"

\to

in Prinzip

\to

ja
.. die beiden Anfangsglieder musst/kannst du direkt ermitteln und vorgeben, denn nur aus/mit
der Formel bekommst du zB für

n = 0

(wegen

\frac{1}{n}

auf der rechten Seite) wohl ein Problem ?..

ok?

Marcell025 aktiv_icon

13:19 Uhr, 26.06.2017

Ok, danke!

matheunterayri aktiv_icon

21:17 Uhr, 01.04.2025

HMMMMM kann man das in eine Verbindung zur linearer Funktion setzen, das würde mich interessieren... Liebe Grüsse matheunterayru

matheunterayri aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.04.2025

Warum antwortet mir niemand?

matheunterayri aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.04.2025

Warum antwortet mir niemand?

matheunterayri aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.04.2025

Warum antwortet mir niemand?

matheunterayri aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.04.2025

: (

matheunterayri aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.04.2025

: (

matheunterayri aktiv_icon

21:20 Uhr, 01.04.2025

: (

matheunterayri aktiv_icon

21:20 Uhr, 01.04.2025

: (

HAL9000

17:33 Uhr, 02.04.2025

Aprilscherz oder Spambot - das ist hier die Frage...

michaL aktiv_icon

17:35 Uhr, 02.04.2025

Hallo,

ich antworte nicht, weil ich deine Frage nicht verstehe.

Das "Kapern" eines (eher alten) Fadens wird üblicherweise nicht so gern gesehen.
Das Fluten eines Fadens mit immer dem gleichen posting übrigens auch nicht.

Mfg Michael

HAL9000

17:38 Uhr, 02.04.2025

Was soll man davon halten, wenn sich einer zwei Minuten (!) nach Fragestellung darüber beschwert, dass keiner antwortet - daher ja meine Vermutung "Spambot", dazu noch ein sehr primitiver.

matheunterayri aktiv_icon

18:21 Uhr, 02.04.2025

HE, HE, HE Sportsfreund. Was soll denn dieses vulgäre Vokabular? Mann kann sich doch mal in einem "Matheforum" einen winzigen Aprilscherz erlauben, oder etwa nicht?

MFG Matheunterayri

matheunterayri aktiv_icon

18:21 Uhr, 02.04.2025

HE, HE, HE Sportsfreund. Was soll denn dieses vulgäre Vokabular? Mann kann sich doch mal in einem "Matheforum" einen winzigen Aprilscherz erlauben, oder etwa nicht?

MFG Matheunterayri

matheunterayri aktiv_icon

18:21 Uhr, 02.04.2025

Micael?

HAL9000

19:27 Uhr, 02.04.2025

> Mann kann sich doch mal in einem "Matheforum" einen winzigen Aprilscherz erlauben, oder etwa nicht?

Na klar kann das Mann, und Frau sowie andere Geschlechter auch - diesbezügliche Verbote hat keiner hier ausgesprochen, die bildest du dir anscheinend nur ein. Genauso wie das vulgäre Vokabular, welches ich weder bei michaL noch bei mir erkenne.

Und richtig, es gibt zumindest ein Anzeichen, dass deine Beiträge nicht von einem Spambot stammen: Es fehlen die dort meistens anzutreffenden bescheuerten Links. Dass es ein Aprilscherz sein könnte, dafür spricht andererseits lediglich das Datum - der Inhalt eher nicht.

matheunterayri aktiv_icon

20:22 Uhr, 02.04.2025

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher, warum du in einem Mathematikforum plötzlich die ganze Palette geschlechtlicher Identitätskonstrukte ins Spiel bringst – immerhin ging es um einen Aprilscherz, nicht um eine Gender-Tagung. Aber wenn wir schon dabei sind: Die Idee, dass es mehr als zwei biologische Geschlechter gäbe, ist ungefähr so belastbar wie die Annahme, die reellen Zahlen seien abzählbar – ideologisch vielleicht attraktiv, mathematisch aber schlichtweg unhaltbar. Vielleicht solltest du dich entscheiden, ob du hier über Tangens und Grenzwerte diskutieren willst oder lieber gesellschaftspolitische Floskeln mit deiner sin(haften) Empörung vermischst. Ich jedenfalls bleibe bei der binären Welt – ganz im Sinne der Mathematik: 0 oder

1,

Punkt.

MFG

matheunterayri aktiv_icon

20:22 Uhr, 02.04.2025

1,

Punkt.

MFG

HAL9000

20:46 Uhr, 02.04.2025

> Ich bin mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher, warum du in einem Mathematikforum plötzlich die ganze Palette geschlechtlicher Identitätskonstrukte ins Spiel bringst

Tja, entweder erkennt man die Anspielung - oder eben nicht. Für jemanden, der sich aufregt, dass andere seine Aprilscherze nicht erkennen, wirkst du ziemlich humorbefreit. ;-)

P.S.: Klemmt deine Tastatur? Oder warum sonst postest du so oft deine Beiträge mehrfach?

matheunterayri aktiv_icon

20:53 Uhr, 02.04.2025

Es ist faszinierend, wie schnell man in einem Mathematikforum vom Thema 'Aprilscherz' zu 'sozialpädagogischer Ironieanalyse' kommt. Dass du die Pointe erkannt hast, freut mich natürlich – ich hatte schon Sorgen, dein Humor hätte den Fluchtpunkt überschritten.

Aber wenn du schon über Mehrfachpostings philosophierst: Vielleicht liegt es auch einfach daran, dass der Server schneller reagiert als manche Synapsen. Wie dem auch sei – freut mich, dass du dich gemeldet hast. Ist immer schön, wenn jemand die Rolle des Forums-Clowns freiwillig übernimmt ;-)

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